Problema 2. Aratati ca daca, $x,y,z$ sunt numere reale astfel incat $x+y+z=0$, atunci
- $\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0\,.$
Problema 3. Fie $S$ o multime finita nevida de intregi strict pozitivi, avand proprietatea: daca $x$ este un element din $S$, atunci toti divizorii pozitivi ai lui $x$ apartin lui $S$.
O submultime nevida $T$ a lui $S$ este buna daca, pentru orice $x,y\in T$ si $x<y$, raportul $\dfrac{y}{x}$ este o putere intreaga a unui numar prim. O submultime nevida $T$ a lui $S$ este rea daca, pentru orice $x,y\in T$ si $x<y$, raportul $\dfrac{y}{x}$ nu este o putere intreaga a unui numar prim. Orice submultime a lui $S$ cu un singur element este considerata simutan buna si rea.
Fie $k$ numarul maxim de elemente pe care le poate avea o submultime buna a lui $S$. Demonstrati ca numarul minim de clase ale unei partitii a multimii $S$ in submultimi rele este tot $k$.
Problema 4. Fie $ABCD$$EF$ un hexagon convex de arie $1\, ,$ cu laturile opuse paralele. Dreptele $AB,CD$ si $EF$ se taie doua cate doua, determinand varfurile unui triunghi. Analog, dreptele $BC,DE$ si $FA$ determina alt triunghi. Aratati ca macar unul dintre triunghiuri are aria cel putin $\frac{3}{2}$.