Concurs SHARAGHIN 2011 (Problema 22)

[mihai miculita]

Din varful $C$ al unui triunghi oarecare $ABC$ se duc tangentele $CX,\, CY$ la cercul care trece prin mijloacele laturilor triunghiului $ABC$($^*$). Demonstrati, ca dreptele $XY,\, AB$ si tangenta dusa in varful $C$ la cercul circumscris triunghiului $ABC$, sunt concurente.
__________________________________
($^*$) cercul lui Euler al triunghiului $ABC$.

[Marius Stănean]

sharighin_S_2011_22.png (32.37 KiB) Vizualizat de 1507 ori

Fie $AD,BE,CF$ inaltimile $\triangle ABC,\,Z$ intersectia tangentei in $C$ la cercul circumscris $(O)$ cu $AB,\, H$ ortocentrul, $M,P,Q$ mijloacele $AB,CH,ZH$ si $\omega(O_e)$ cercul lui Euler.
Cercurile $(O),\omega$ sunt omotetice $(\omega$ se obtine din $(O)$ printr-o omotetie de centru $H$ si raport $\frac{1}{2})\Rightarrow QP$ tangenta la $\omega$.
In $\triangle CZM$

• $\left.\begin{array}{l}CF\perp ZM\\MP\perp PQ\\PQ\parallel CZ\end{array}\right\} \Rightarrow P$ ortocentrul $\triangle CZM\Rightarrow ZP\perp CM\Rightarrow \{R\}=ZP\cap CM\in \omega.$

Fie $\{T\}=MP\cap FR,\,\{L\}=CT\cap FM \stackrel{\mbox{\tiny T.Pappus}}{\Longrightarrow}$ polara lui $Z$ fata de $\omega$ este $CL$ si cum polara lui $C$ fata de $\omega$ este $XY\Rightarrow Z\in XY.$

Observatie:
Polara lui $T$ este $CZ$ de unde rezulta $T\in XY$, deci $X,Y,Z,T$ sunt coliniare si $(X,T,Y,Z)$ este o diviziune armonica.