Dreapta perpendiculara pe dreapta OI (MO_China-2007)

mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Dreapta perpendiculara pe dreapta OI (MO_China-2007)

Mesaj de mihai miculita »

Fie $I-$centrul cercului inscris si $O-$centrul cercului circumscris triunghiului $ABC.$ Notam cu $D,E$ si cu $F$ punctele de tangenta ale cercului inscris in triunghiul $ABC$ in mod respectiv, cu laturile $[BC],[AC]$ si $[AB];$ iar cu $\{P\}=FD\cap AC$ si cu $\{Q\}=ED\cap AB.$ Daca $M-$este mijlocul lui $[PE]$ si $N-$ este mijlocul lui $[QF]$, atunci aratati ca: $\boxed{OI\perp MN}.$
dangerous storm
Mesaje: 145
Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm

Re: Dreapta perpendiculara pe dreapta OI (MO_China-2007)

Mesaj de dangerous storm »

Punctele $I,M,N$ nu sunt definite.
mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Re: Dreapta perpendiculara pe dreapta OI (MO_China-2007)

Mesaj de mihai miculita »

AM COMPLETAT ENUNTUL, cu detaliile care lipseau!
Stefan Tudose
Mesaje: 258
Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm

Re: Dreapta perpendiculara pe dreapta OI (MO_China-2007)

Mesaj de Stefan Tudose »

$(P,E,A,C)=-1$, $M$ mijlocul $[PE]$, de unde rezulta $ME^2=MA\cdot MC$, deci $M$ se afla pe axa radicala a cercului inscris si a cercului circumscris triunghiului $\triangle{ABC}$.

Un rationament analog relativ la $N$ indica faptul ca $MN$ este axa radicala a celor doua cercuri mentionate, de unde reiese concluzia.
Scrie răspuns