ONM, Mexic-2008, Problema 6

[mihai miculita]

Fie $I-$ centrul cercului iscris in triunghiul $ABC.$ Dreptele $AI,\,BI$ si $CI$ intersecteaza a doua oara cercul circumscris triunghiului $ABC$ in mod respectiv in punctele $L,\,M$ si $N.$ Notam cu $D$ si $E$ punctele de intersectie ale laturii $[BC]$ cu cercul avand drept diametru segmentul $[IL],$ cu $F$ si $G$ punctele de intersectie ale laturii $[AC]$ cu cercul avand drept diametru segmentul $[IM];$ iar cu $H$ si $J$ punctele de intersectie ale laturii $[AB]$ cu cercul avand drept diametru segmentul $[IN].$ Aratati ca punctele $D,\,E,\,F,\,G,\,H$ si $J$ sunt sase puncte conciclice.

[Marius Stănean]

Mediatoarele lui $DE, FG, HJ$ se intersecteaza in mijlocul lui $OI$, $O$ este centrul cercului circumscris.

[sunken rock]

Apart of the above observation, which is of paramount importance, we are not done without $AG\cdot AF=AH\cdot AJ$, a.s.o., which is very easy to prove as well ( see that every two of the three small circles intersect at midpoints of AI, BI, CI respectively).

Best regards,
sunken rock