Patrulater inscriptibil si drepte perpendiculare

mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Patrulater inscriptibil si drepte perpendiculare

Mesaj de mihai miculita »

In patrulaterul inscriptibil $ABCD,$ notam cu $T_{xy}-$ punctul de tangenta al dreptei suport a laturii $[XY]$ cu cercul tangent la aceasta dreapta si care trece prin varfurile $U$ si $V;$ unde: $\{X;Y;U;V\}=\{A;B;C;D\}.$ Aratati ca: $\boxed{T_{ab}T_{cd}\perp T_{ad}T_{bc}}.$
(din rev. "Matematika v Skole").
Stefan Tudose
Mesaje: 258
Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm

Re: Patrulater inscriptibil si drepte perpendiculare

Mesaj de Stefan Tudose »

Fie $\{E\}=AD\cap BC,\ \{F\}=AB\cap CD$. Din puterea punctului, $T_{ab}F^2=FD\cdot FC=FA\cdot FB=T_{cd}F^2$, deci $FT_{cd}=FT_{ab}$ si, analog, $ET_{ad}=ET_{bc}$.

Concluzia este acum evidenta dintr-un calcul trivial de unghiuri. :)
mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Re: Patrulater inscriptibil si drepte perpendiculare

Mesaj de mihai miculita »

1). Daca $ABCD-$ este un patrulater in care $\{E\}=AD\cap BC$ si $\{F\}=AB\cap CD,$
atunci urmatoarele doua afirmatii sunt echivalente:

(i). $ABCD-$inscriptibil;
(ii). bisectoarele unghiurilor $\widehat{AEB}$ si $\widehat{AFC}$ sunt perpendiculare. (Demonstrati!!)
2). Notand acum cu $P$ punctul de intersectie al bisectoarelor unghiurilor $\widehat{AEB}$ si $\widehat{AFC}$,
patrulaterul $ABCD-$fiind inscriptibil, avem: $\boxed{PE\perp PF}.$

3). Intrucat $|ET_{ad}|=|ET_{bc}|\Rightarrow PE\perp T_{ad}T_{bc}; PF\Rightarrow T_{ad}T_{bc}\parallel PF$ si in mod analog se arata ca: $T_{ab}T_{cd}\parallel PF.$
Asa ca, avem: $\boxed{T_{ab}T_{bc}\perp T_{ad}T_{bc}}\,!$
Scrie răspuns