Fie$I-$ centrul cercului inscris in triunghiul $ABC.$ Notam cu: $\{X_1\}=(XI\cap [YZ]$
si cu: $\{X_2\}=(XI\cap \odot{ABC},$ unde: $\{X;Y;Z\}=\{A;B;C\};$ iar cu: $\{P\}=B_1C_1\cap B_2C_2.$
Aratati ca: $PI\parallel BC.$
O paralela la o latura a unui triunghi care trece prin I:
-
mihai miculita
- Mesaje: 1493
- Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
- Localitate: ORADEA
-
Stefan Tudose
- Mesaje: 258
- Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm
Re: O paralela la o latura a unui triunghi care trece prin I
Cred ca $PI\parallel BC$, nu $PO\parallel BC$.
Fie $X$ si $Y$ intersectiile paralelei prin $I$ la $BC$ cu $AB$ si $AC$ si $N$ mijlocul arcului mic $BC$ al cercului $(ABC)$. E trivial din unghiuri ca $XI=XB,\ C_2I=C_2B$ si $YI=YC,\ B_2I=B_2C$, deci $XC_2$ si $YB_2$ sunt mediatoarele segmentelor $BI$ si $CI$, de unde rezulta $\{N\}=XC_2\cap YB_2$.
Cum, $A-I-N$ coliniare, $C_1X\cap B_1Y$$,\ C_1C_2\cap B_1B_2$ $,\ C_2X \cap B_2Y$ sunt coliniare, deci din reciproca teoremei lui Desargues, $B_2C_2\cap B_1C_1\cap XY\ne \emptyset$, i.e. $PI\parallel BC$.
Fie $X$ si $Y$ intersectiile paralelei prin $I$ la $BC$ cu $AB$ si $AC$ si $N$ mijlocul arcului mic $BC$ al cercului $(ABC)$. E trivial din unghiuri ca $XI=XB,\ C_2I=C_2B$ si $YI=YC,\ B_2I=B_2C$, deci $XC_2$ si $YB_2$ sunt mediatoarele segmentelor $BI$ si $CI$, de unde rezulta $\{N\}=XC_2\cap YB_2$.
Cum, $A-I-N$ coliniare, $C_1X\cap B_1Y$$,\ C_1C_2\cap B_1B_2$ $,\ C_2X \cap B_2Y$ sunt coliniare, deci din reciproca teoremei lui Desargues, $B_2C_2\cap B_1C_1\cap XY\ne \emptyset$, i.e. $PI\parallel BC$.