Problema 8 (Fin. Saraghin 2012); Cls.9

[mihai miculita]

Fie $D$ piciorul inaltimii duse din varful $A$ al triunghiului ascutitunghic $ABC.$ Notam cu $K$ si $L$ proiectiile punctului $D$ pe laturile $[AB]$ si $[AC].$ Cercul circumscris triunghiului $ABC$ intersecteaza a doua oara dreapta $AD$ in punctul $T$ si dreapta $KL$ in punctele $P$ si $Q.$ Aratati ca punctul $D$ este centrul cercului inscris in triunghiul $PQT.$

[Marius Mainea]

Din asemanarea triunghiurilor APK si ABP rezulta ca $AP^2=AK\cdot AB$

Insa din teorema catetei avem si $AD^2=AK\cdot AB$

De aici AP=AD.

Analog AQ=AD si atunci triunghiul APQ este isoscel , are unghiurile de la baza egale deci AT este bisectoarea unghiului PTQ.

Notand masura unghiului PAB cu x si masura unghiului QAC cu y se arata ca $m(\angle{QPT})=90-C+y$ si $m(\angle{QPD})=\frac{90-C+y}{2}$

Rezulta ca PD este bisectoarea unghiului QPT.

[sunken rock]

$\Delta AKL\sim\Delta ACB\implies KL\bot OA$ ($O$- circumcenter of $\Delta ABC$ ), so $AP=AQ$. Inversion of pole $A$ and power $AP^2$ sends the circle into the line $PQ$, particularly $B$ to $K$, hence $AP^2=AK\cdot AB$, but $AK\cdot AB=AD^2$, or $AP=AD=AQ$, meaning that $D$ is the incenter of $\Delta PQT$.

Best regards,
sunken rock