Relatie intre ariile unor triunghiuri

Relatie intre ariile unor triunghiuri

Mesajde mihai miculita » Sâm Dec 18, 2010 8:39 pm

Fie ABC un triunghi oarecare şi să considerăm punctele de tangenţă ale cercurilor tritangente cu laturile triunghiului. Punctele de tangenţă ale cercului înscris determină un triunghi având aria \Delta, iar punctele de tangenţă ale cercurilor exânscrise determină alte trei triunghiuri având ariile notate cu \Delta_a, \Delta_b, \Delta_c. Arătaţi că au loc relaţiile: (i). \frac{1}{\Delta}=\frac{1}{\Delta_a}+\frac{1}{\Delta_b}+\frac{1}{\Delta_c}; (V.C.Bailey)
(ii). \frac{\Delta_a}{r_a^2}+\frac{\Delta_b}{r_b^2}+\frac{\Delta_c}{r_c^2}=\frac{\Delta}{r^2}; r, r_a, r_b, r_c fiind razele celor trei cercuri tritangente corespunzatoare (Journal de Mathematiques Elementaires, 1889).
mihai miculita
 
Mesaje: 1301
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Re: Relatie intre ariile unor triunghiuri

Mesajde Cheian Dinis » Dum Dec 19, 2010 1:48 pm

Sper ca inteleg corect ,ca cercurile tritangente sunt cele exinscrise,daca asa atunci vom folosi 3 relatii destul de cunoscute in legatura cu cercurile exinscrise si triunghiurile podare(triunghiuri formate de proectiile unui punct pe laturile triunghiului),toate triunghiurile din conditie sunt triunghiuri podar ,in raport cu \triangle ABC
Prima relatie e aria triunghiului pedal a unui punct P in raportul triunghiului cu raza cercului circumscris R:
S=|R^2-OP^2|sinAsinBsinC\cdot \frac{1}{2}. http://mathworld.wolfram.com/PedalTriangle.html
cea de-a doua este distanta de la circumcentru la excentru:OI_i^2=R^2+R\cdot r unde r este raza cercului exinscris.http://demonstrations.wolfram.com/TheDi ... nExcenter/
Aplicind cele 2 relatii la ambele identitati din conditie, ele ambele se rezuma la \dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}=\dfrac{1}{r}
Si cea de-a treia relatie ,probabil cea mai cunoscuta, este faptul ca r_a=\dfrac{S}{p-a} unde S este aria triunghiului \triangle ABC si p este semiperimetrul acestuia.http://mathworld.wolfram.com/Exradius.html
Vom obtine urmatoarea relatie p=3p-a-b-c ceia ce este adevarat.
Q.E.D.
Great liars are also great magicians
Cheian Dinis
 
Mesaje: 32
Membru din: Sâm Dec 11, 2010 4:01 pm


Înapoi la Geometrie

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator