Finala ONM Rusia 2011 (Cls.11, P8)

mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Finala ONM Rusia 2011 (Cls.11, P8)

Mesaj de mihai miculita »

In triunghiul ascutitunghic $ABC$ notam cu $N$ mijlocul arcului $BAC$ al cercului circumscris triunghiului; iar cu $M$ mijlocul laturii $[BC]$. Aratati ca in cazul in care $I_1$ si $I_2$ sunt centrele cercurilor inscrise in triunghiurile $ABM$ si respectiv $ACM$, punctele $I_1, I_2, A$ si $N$ sunt patru puncte conciclice. (Kungojin)
muscapaul
Mesaje: 31
Membru din: Mar Mar 08, 2011 8:48 pm

Re: Finala ONM Rusia 2011 (Cls.11, P8)

Mesaj de muscapaul »

Fie $I_b,I_c$ centrele cercurilor exinscrise ale triunghiului $ABC$ cum cercul circumscris triunghiului $ABC$ este cercul lui euler a triunghiului $I_aI_bI_c$ rezulta ca N este mijlocul lui $I_bI_c$ fie $X_2,X_1$ intersectia cercului circumscris triunghiului $AI_1I_2$ cu dreptele $BI$ si $CI$ => triunghiuril $X_1I_1I$ si $X_2I_2I$ sunt dreptunghice $(<I_1X_1I_2=<I_1AI_2) =>X_1I_1//BI_a$ si analog $X_2I_2//CI_c$ cum triunghiurile $IBC$ si $I_bII_c$ sunt asemenea si $X_1,X_2$ impart laturile $II_b,II_c$ in acelasi raport ca si $I_1, I_2$ pe IB si IC [Thales] obtinem ca $<X_1NX_2=90$ deci N apartine cercului de diametru $X_1X_2$
Fişiere ataşate
rusia.JPG
rusia.JPG (67.81 KiB) Vizualizat de 1632 ori
Scrie răspuns