Inegalitatea, Cupa Dunarii 2010

andrei.ivanov
Mesaje: 3
Membru din: Dum Iul 18, 2010 3:25 pm

Inegalitatea, Cupa Dunarii 2010

Mesaj de andrei.ivanov »

Fie $\, n$ un număr întreg mai mare sau egal cu 3. Determinați numerele reale $\, x_{1}\geq 0$, $\, x_{2}\geq 0$, ..., $\, x_{n}\geq 0$, $\, x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=n$, pentru care expresia

$\, (n-1)(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})+nx_{1}x_{2}\ldots x_{n}$

ia valoarea minimă.
drytime
Mesaje: 183
Membru din: Lun Iul 19, 2010 4:56 pm

Re: Inegalitatea, Cupa Dunarii 2010

Mesaj de drytime »

Pentru inceput, sa observam ca mutimea n-tupletelor $(x_1,...,x_n)$ cu proprietatea ceruta este compacta, deci pe baza teoremei lui Weierstrass expresia data isi atinge extremele(in particular minimele).

In caz ca unul dintre numerele $x_i$ este egal cu 0, atunci nu trebuie decat sa aplcam inegalitatea mediilor si sa observam ca $E(x_1,...,x_n)=(n-1)(x_1^2+...+x_n^2)+nx_1...x_n$ e minima asadar doar cand toate celelalte numere sunt egale cu $\frac{n}{n-1}$, caz in care expresia ia valoarea $n^2$.

In continuare presupun ca toate numerele sunt nenule. Voi arata ca daca toate numerele nu sunt egale, expresia poate fi "imbunatatita".

Fara a restrange generalitatea, presupun ca $0<x_2<x_1$. In cazul in care $2(n-1)=nx_3x_4...x_n$ un calcul usor arata ca $E(x_1+x_2,0,x_3,..,x_n)=E(x_1,...,x_n)$. Dar$E(x_1+x_2,0,x_3,..,x_n)$ e minima cand $x_3=...=x_n=\frac{n}{n-1}$, deci din $2(n-1)=nx_3x_4...x_n$ obtin ca $(\frac{n}{n-1})^n-1=2$, ceea ce este fals (Bernoulli).

Daca $2(n-1)>nx_3...x_n$, luand $e$ suficient de mic, pozitiv, astfel incat $x_2+e-x_1>0$ si $x_1-e>0$, se observa prin calcul ca $E(x_1-e,x_2+e,x_3,...,x_n)<E(x_1,...,x_n)$, asadar $E(x_1,...,x_n)$ nu e minim.

Daca $2(n-1)<nx_3...x_n$, iau $e$ pozitiv suficient de mic astfel incat $x_1+e-x_2>0$ si $x_2-e>0$. Pe baza unor calcule se obtine ca $E(x_1+e,x_2-e,x_3,...,x_n)<E(x_1,...,x_n)$, deci din nou $E(x_1,...,x_n)$ nu este minim.

Asadar, singurele n-tuplete pentru care $E(x_1,...,x_n)$ e minim sunt $(0, \frac{n}{n-1},...,\frac{n}{n-1})$ cu permutarile sau $(1,...,1)$. Pentru fiecare n-tuplet valoarea obtinuta este $n^2$, deci minimul se atinge pentru n-tupletele de mai sus.
mihaith
Mesaje: 30
Membru din: Mar Apr 15, 2014 9:13 pm
Localitate: Constanta

Re: Inegalitatea, Cupa Dunarii 2010

Mesaj de mihaith »

Sa observam ca inegalitatea aceasta este un caz particular al inegalitatii lui Suranji, pentru $k=2$.
Numai ca in concurs trebuie demontrat acest caz particular... :mrgreen:
Scrie răspuns