inegalitate

[ghenghea1]

Numerele $a,b,c$ au proprietatea că $abc=1$.Arătați că
$\frac{1}{1+a+b} + \frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+a+c} \leqslant 1$

[seby]

O solutie imediata se poate obtine prin aducere la acelasi numitor comun.Mai trebuie sa dem ca $\sum{a^2b} \ge 2\sum{a}<=>s(p-2)\ge 3$,evident din medii(p=ab+bc+ac,s=a+b+c)

[Pricope Tidor-Vlad]

Fie $a=x^3$ si analoagele. Deci $xyz=1$ si trebuie sa aratam ca $\sum_{cyc} \dfrac{1}{xyz+x^3+y^3} \le 1$. Dar folosind $x^3+y^3 \ge xy(x+y), \forall x,y>0$ $\Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{1}{xyz+x^3+y^3} \le$ $\sum_{cyc} \dfrac{1}{xy(x+y+z)}= \dfrac{1}{x+y+z} * (x+y+z)=1 q.e.d.$