Cyclic homogeneous polynomial inequality

Pricope Tidor-Vlad
Mesaje: 276
Membru din: Vin Sep 28, 2012 4:04 pm
Localitate: Botosani

Cyclic homogeneous polynomial inequality

Mesaj de Pricope Tidor-Vlad »

$x,y,z \ge 0$ $\Rightarrow 3(x^4+y^4+z^4)+4(xy^3+yz^3+zx^3) \ge 7(x^3y+y^3z+z^3x)$
“Make things as simple as possible, but not simpler.” - Albert Einstein
dangerous storm
Mesaje: 145
Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm

Re: Cyclic homogeneous polynomial inequality

Mesaj de dangerous storm »

Solutia mea foloseste doar BW.
Inegalitatea este ciclica,deci trebuie analizate doua cazuri:
$1)x \ge z\ge y$
Fie $x=y+u+v$ si $z=y+u$,unde u si v sunt numere reale pozitive.Inegalitatea se reduce la a demonstra ca:
$9u^2y^2$+$9uvy^2$+$9v^2y^2$+$9u^3y$+$30u^2vy$+$39uv^2y$+$9v^3y$+$3u^4$+$17u^3v$+$30u^2v^2$+$16uv^3$+$3v^4$ $\ge 0$,ceea ce este evident adevarat.
$[tex]$2)x\ge y\ge z$[tex]$
Fie $x=z+u+v$ si $y=z+u$,unde u si v sunt numere reale pozitive.Inegalitatea se reduce la a demonstra ca:
$9u^2z^2$+$9uvz^2$+$9v^2z^2$+$9u^3z$−$3u^2vz$+$6uv^2z$+$9v^3z$+$3u^4$−$5u^3v$ −$3u^2v^2$+$5uv^3$+$3v^4$ $\ge 0$,ceea ce nu mai este asa evident.Trebuie sa consideram 2 subcazuri:
$a)v\ge u$
Fie $v=u+p$,unde p este un numar real pozitiv.Inegalitatea este echivalenta cu:
$27u^2z^2$+$27puz^2$+$9p^2z^2$+$21u^3z$+$36pu^2z$+$33p^2uz$+$9p^3z$+$3u^4$+$16pu^3$+ $30p^2u^2$+$17p^3u$+$3p^4$$\ge 0$,ceea ce este evident adevarat.
$b)u\ge v$
Fie $u=v+p$,unde p este un numar real pozitiv. Daca $z\ge p$,atunci trebuie sa demonstram ca:
$54p^2v^2$+$81ptv^2$+$27t^2v^2$+$58p^3v$+$78p^2tv$+$27pt^2v$+$21p^4$+$27p^3t$+$9p^2t^2$+ $17pv^3$+$21tv^3$+$3v^4$ $\ge 0$,unde $t=z-p$,ceea ce ste evident adevarat.
Daca $p\ge z$,atunci trebuie sa demonstram ca:
$54v^2z^2$+$58vz^3$+$96qvz^2$+$21z^4$+$57qz^3$+$54q^2z^2$+$17v^3z$+$27qv^2z$+$45q^2vz$+ $21q^3z$+$3v^4$−$4qv^3$+$7q^3v$+$3q^4$$\ge 0$,unde [/tex]q=p-z[/tex],ceea ce nu mai este asa evident.Fie $r=|q-v|$.Daca $q\ge v$ trebuie demonstrat ca:
$204v^2z^2$+$115vz^3$+$204rvz^2$+$21z^4$+$57rz^3$+$54r^2z^2$+$110v^3z$+$180rv^2z$+ $108r^2vz$+$21r^3z$+$9v^4$+$29rv^3$+$39r^2v^2$+$19r^3v$+$3r^4$ $\ge 0$,
iar daca $v\ge q$ trebuie sa demonstram ca:
$204q^2z^2$+$204qrz^2$+$54r^2z^2$+$115qz^3$+$58rz^3$+$21z^4$+$110q^3z$+$150q^2rz$+ $78qr^2z$+$17r^3z$+$9q^4$+$7q^3r$+$6q^2r^2$+$8qr^3$+$3r^4$ $\ge 0$.
Ambele inegalitati sunt evident adevarate.
seby
Mesaje: 491
Membru din: Mie Iul 06, 2011 11:57 pm
Localitate: Botosani
Contact:

Re: Cyclic homogeneous polynomial inequality

Mesaj de seby »

foarte faina solutia;) tine—o tot asa:d
Cojocariu Sebastian
C.N "Mihai Eminescu",Botosani,elev clasa a 9a
Pricope Tidor-Vlad
Mesaje: 276
Membru din: Vin Sep 28, 2012 4:04 pm
Localitate: Botosani

Re: Cyclic homogeneous polynomial inequality

Mesaj de Pricope Tidor-Vlad »

Astfel de inegalitati nu au o solutie frumoasa, in unele cazuri BW este chiar foarte puternica , evident si costisitoare. Inegalitatea a fost demonstrata si probabil dedusa cu o teorema...Fie $A,B,C,D$ coeficientii (reali) ai polinomului ciclic de grad $4$: $f_4(x,y,z)=\sum x^4+A \sum x^2y^2+ Bxyz \sum x + C \sum x^3y + D \sum xy^3$, atunci $f_4(x,y,z) \ge 0$ daca $1+A+B+C+D \ge 0$ si una din urmatoarele conditii este indeplinita:
$(a) 3(1+A) \ge C^2+CD+D^2$
$(b) 3(1+A) < C^2+CD+D^2$ si exista $t\ge 0$ a. i. $(C+2D)t^2+6t+2C+D$ $\ge 2\sqrt{(t^4+t^2+1)(C^2+CD+D^2-3-3A)}$
“Make things as simple as possible, but not simpler.” - Albert Einstein
seby
Mesaje: 491
Membru din: Mie Iul 06, 2011 11:57 pm
Localitate: Botosani
Contact:

Re: Cyclic homogeneous polynomial inequality

Mesaj de seby »

pai am zis eu altcv?ba din contra,pe langa inteligenta la ineg se mai adauga si o maiestrie de calcule fundamentale pentru dezvoltari binomiale ...gg:)
Cojocariu Sebastian
C.N "Mihai Eminescu",Botosani,elev clasa a 9a
Pricope Tidor-Vlad
Mesaje: 276
Membru din: Vin Sep 28, 2012 4:04 pm
Localitate: Botosani

Re: Cyclic homogeneous polynomial inequality

Mesaj de Pricope Tidor-Vlad »

Another one :D :
$x,y,z \ge 0 \Rightarrow$ $x^4+y^4+z^4 +(\dfrac{4}{\sqrt[4]{27}}-1)xyz(x+y+z)\ge \dfrac{4}{\sqrt[4]{27}}(x^3y+y^3z+z^3x)$
Hint: folositi teorema din comentariul anterior
“Make things as simple as possible, but not simpler.” - Albert Einstein
Marius Stănean
Mesaje: 751
Membru din: Mar Iul 13, 2010 7:15 am
Localitate: Zalau

Re: Cyclic homogeneous polynomial inequality

Mesaj de Marius Stănean »

Pricope Tidor-Vlad scrie:$x,y,z \ge 0$ $\Rightarrow 3(x^4+y^4+z^4)+4(xy^3+yz^3+zx^3) \ge 7(x^3y+y^3z+z^3x)$
Presupun ca $y$ este intre $x,z\Longleftrightarrow (x-y)(y-z)\ge 0$, inegalitatea se scrie
  • $3(x-z)^2(x^2+xz+z^2)-3(x-y)(y-z)(x^2+xy+y^2)$ $-4(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\ge 0$
dar
$(x-z)^2=(x-y+y-z)^2\ge 4(x-y)(y-z)$
folosind aceasta ramane de aratat ca
  • $(x-y)(y-z)(12x^2+12xz+12z^2-3x^2-3xy-3y^2-$ $4z^2+4x^2-4yz+4xy)\ge0\Longleftrightarrow$
    $(x-y)(y-z)(13x^2+12xz+xy+8z^2-3y^2-4yz)\ge 0$
adevarata deoarece fie $7x^2\ge 3y^2+4yz$, fie $7z^2\ge 3y^2+4yz$
dupa cum $x$ sau $z$ este cel mai mare dintre numere.
Quae nocent docent
Scrie răspuns