Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Mesajde Mr. Ady » Sâm Sep 03, 2011 9:37 pm

Problema 4. Demonstrati inegalitatile

a) * \sqrt{a+1}+\sqrt{2a-3}+\sqrt{50-3a}\leq 12;

b) ** a+b+c<abc, unde a^{2}+b^{2}+c^{2}=2;

c) ** 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 9(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab),\ a,b,c>0;

d) ** 1\geq a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+\ldots +a_{n-1}a_{n}+a_{n}a_{1}\geq -1, unde a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=1;

e) *** a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+\ldots +a_{n}^{4}\geq a^{3}_{1}a_{2}+a_{2}^{3}a_{3}+\ldots +a_{n-1}^{3}a_{n}+a^{3}_{n}a_{1}.
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Avatar utilizator
Mr. Ady
 
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Re: Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Mesajde BocanuMarius » Dum Sep 04, 2011 8:51 am

Mr. Ady scrie:Problema 4. Demonstrati inegalitatile

b) ** a+b+c<abc, unde a^{2}+b^{2}+c^{2}=2;


a=b=1,c=0 nu verifica.
Exista lucruri care stim ca sunt imposibil de realizat, pana vine cineva care nu stie acest lucru si le realizeaza.
BocanuMarius
 
Mesaje: 365
Membru din: Vin Dec 17, 2010 8:44 am

Re: Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Mesajde BocanuMarius » Dum Sep 04, 2011 8:53 am

Mr. Ady scrie:Problema 4. Demonstrati inegalitatile
c) ** 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 9(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab),\ a,b,c>0;


Daca a=b=c, inegalitatea devine 24a^3\ge72a^6, adica 1\ge3a^3, evident fals, neavand restrictii pentru a.
Exista lucruri care stim ca sunt imposibil de realizat, pana vine cineva care nu stie acest lucru si le realizeaza.
BocanuMarius
 
Mesaje: 365
Membru din: Vin Dec 17, 2010 8:44 am

Re: Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Mesajde BocanuMarius » Dum Sep 04, 2011 9:02 am

Pentru e). Imnultim cu 4 si rescriem inegalitatea astfel (a_1^4+a_1^4+a_1^4+a_2^4)+...+(a_n^4+a_n^4+a_n^4+a_1^4)\ge4(a_1^3a_2+...+a_n^3a_1)( doar AM-GM).
Exista lucruri care stim ca sunt imposibil de realizat, pana vine cineva care nu stie acest lucru si le realizeaza.
BocanuMarius
 
Mesaje: 365
Membru din: Vin Dec 17, 2010 8:44 am

Re: Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Mesajde Stefan Spataru » Dum Sep 04, 2011 12:13 pm

La a) aplicam (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)
Stefan Spataru
 
Mesaje: 84
Membru din: Dum Mar 27, 2011 10:36 pm

Re: Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Mesajde seby » Sâm Dec 17, 2011 9:24 pm

Problema 4. Demonstrati inegalitatile

b) ** a+b+c<abc, unde a^{2}+b^{2}+c^{2}=2;
Daca am adauga in ipoteza conditiile a<0 si b,c>0 sau a,b,c<0,relatia devinde oare adevarata?
Cojocariu Sebastian
C.N "Mihai Eminescu",Botosani,elev clasa a 9a
seby
 
Mesaje: 491
Membru din: Mie Iul 06, 2011 11:57 pm
Localitate: Botosani

Re: Tabara MathTime - Problema 4, ziua II

Mesajde drytime » Sâm Dec 17, 2011 9:41 pm

@seby Pentru primul caz, ia a\rightarrow 0 si b,c\rightarrow 1. Al doilea caz este in schimb bun, dar inegalitatea devine a+b+c>abc, pentru a,b,c numere pozitive. De fapt este adevarata inegalitatea a+b+c\geq \frac{9}{2}abc, deoarece 2(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 9abc.
drytime
 
Mesaje: 183
Membru din: Lun Iul 19, 2010 4:56 pm


Înapoi la Inegalitati

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron