Tabara MathTime - Problema 1, ziua II

Tabara MathTime - Problema 1, ziua II

Mesajde Mr. Ady » Sâm Sep 03, 2011 9:27 pm

Problema 1. Demonstrati ca
a) * a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2} daca a>0, b>0 si a^{2}+b^{2}\geq a+b
b) * a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 14 daca a+2b+3c\geq 14
c) * ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})\leq 1} daca |a|\leq 1, |b|\leq 1
d) ** a\sqrt{a^{2}+c^{2}}+c\sqrt{b^{2}+c^{2}}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}
e) ** \sqrt{a+b+c}\geq \sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1} daca a,b,c>1 si \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Avatar utilizator
Mr. Ady
 
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Re: Tabara MathTime - Problema 1, ziua II

Mesajde Adriana Nistor » Vin Sep 16, 2011 4:51 pm

a)Folosind inegalitatea lui Cauchy-Schwarz obtinem (a^3+b^3)(a+b)\ge(a^2+b^2)^2\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\ge\frac{a^2+b^2}{a+b} (1)
Din ipoteza avem \frac{a^2+b^2}{a+b}\ge 1 (2)
Din (1) si (2) obtinem ca \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\ge 1\Rightarrow a^3+b^3\ge a^2+b^2
Avatar utilizator
Adriana Nistor
 
Mesaje: 49
Membru din: Mar Noi 02, 2010 9:19 am
Localitate: Drobeta Turnu-Severin

Re: Tabara MathTime - Problema 1, ziua II

Mesajde Adriana Nistor » Vin Sep 16, 2011 4:58 pm

b)(1+4+9)(a^2+b^2+c^2)\ge (a+2b+3c)^2\Rightarrow  {a^2+b^2+c^2}\ge\frac{(a+2b+3c)^2}{14} (1)
\frac{(a+2b+3c)^2}{14}\ge\frac{14^2}{14}=14 (2)
Din(1) si (2) rezulta inegalitatea de demonstrat.
Avatar utilizator
Adriana Nistor
 
Mesaje: 49
Membru din: Mar Noi 02, 2010 9:19 am
Localitate: Drobeta Turnu-Severin

Re: Tabara MathTime - Problema 1, ziua II

Mesajde Adriana Nistor » Vin Sep 16, 2011 5:02 pm

c) ab+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\le ab+\frac{1-a^2+1-b^2}{2}=1-\frac{(a-b)^2}{2}\le 1
Avatar utilizator
Adriana Nistor
 
Mesaje: 49
Membru din: Mar Noi 02, 2010 9:19 am
Localitate: Drobeta Turnu-Severin

Re: Tabara MathTime - Problema 1, ziua II

Mesajde Adriana Nistor » Vin Sep 16, 2011 5:46 pm

d) (a\sqrt{a^2+c^2}+c\sqrt{b^2+c^2})^2\le (a^2+(\sqrt{b^2+c^2})^2)((\sqrt{a^2+c^2})^2+c^2), deci (a\sqrt{a^2+c^2}+c\sqrt{b^2+c^2})^2\le (a^2+b^2+c^2)^2, adica a\sqrt{a^2+c^2}+c\sqrt{b^2+c^2}\le a^2+b^2+c^2
Avatar utilizator
Adriana Nistor
 
Mesaje: 49
Membru din: Mar Noi 02, 2010 9:19 am
Localitate: Drobeta Turnu-Severin

Re: Tabara MathTime - Problema 1, ziua II

Mesajde Adriana Nistor » Vin Sep 16, 2011 5:54 pm

e) \sqrt{a-1}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{1-\frac{1}{a}}
(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1})^2=(\sqrt{a(1-\frac{1}{a})}+\sqrt{b(1-\frac{1}{b})}+\sqrt{c(1-\frac{1}{c})})^2\le(a+b+c)(3-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=a+b+c. Prin urmare \sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{a+b+c}
Avatar utilizator
Adriana Nistor
 
Mesaje: 49
Membru din: Mar Noi 02, 2010 9:19 am
Localitate: Drobeta Turnu-Severin


Înapoi la Inegalitati

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron