IMAC 2014 - Seniori Ziua I Problema 3
-
Andi Brojbeanu
- Mesaje: 94
- Membru din: Mar Noi 02, 2010 10:47 am
- Localitate: Targoviste (Dambovita)
- Contact:
IMAC 2014 - Seniori Ziua I Problema 3
Demonstrati ca ecuatia $2^x+21^x=y^3$ nu are solutii in multimea numerelor naturale. Gasiti toate solutiile in numere naturale ale ecuatiei $2^x+21^y=z^2$.
Brojbeanu Andi Gabriel, clasa XI-a
Colegiul National "Constantin Carabella" Targoviste
Colegiul National "Constantin Carabella" Targoviste
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: IMAC 2014 - Seniori Ziua I Problema 3
Evident $x \neq 0$ in ambele ecuatii diofantice.
Mai intai vom demonstra ca ecuatia $2^x + 21^x=y^3$ nu are solutii in multimea numerelor naturale. Evident y nu este divizibil cu 7 ,deci $y^3 \equiv 1(mod 7)$ sau $y^3 \equiv 6(mod 7)$.Rezulta $2^x \equiv 1(mod 7)$ sau $2^x \equiv 6(mod 7)$ , dar cu simbolul lui Legendre se demonstreaza ca $2^x \equiv 6(mod 7)$ este imposibil,deci $2^x \equiv 1(mod 7)$.Cum ordinul lui 2 modulo 7 este 3 obtinem ca $x \vdots 3$.Fie x=3k ,unde k este un numar natural.Avem $(2^k)^3 + (21^k)^3 = y^3$,iar $2^k \neq 0$ si $21^k \neq 0$ ,deci din Marea Teorema a lui Fermat rezulta ca ecuatia $(2^k)^3 + (21^k)^3 = y^3$ nu are solutii in numere naturale.
Pentru ecuatia $2^x + 21^x =z^2$ se observa usor ca x este par(acest lucru se observa daca ne uitam la ecuatie modulo 3) si de aici ecuatia se rezolva foarte usor.
Mai intai vom demonstra ca ecuatia $2^x + 21^x=y^3$ nu are solutii in multimea numerelor naturale. Evident y nu este divizibil cu 7 ,deci $y^3 \equiv 1(mod 7)$ sau $y^3 \equiv 6(mod 7)$.Rezulta $2^x \equiv 1(mod 7)$ sau $2^x \equiv 6(mod 7)$ , dar cu simbolul lui Legendre se demonstreaza ca $2^x \equiv 6(mod 7)$ este imposibil,deci $2^x \equiv 1(mod 7)$.Cum ordinul lui 2 modulo 7 este 3 obtinem ca $x \vdots 3$.Fie x=3k ,unde k este un numar natural.Avem $(2^k)^3 + (21^k)^3 = y^3$,iar $2^k \neq 0$ si $21^k \neq 0$ ,deci din Marea Teorema a lui Fermat rezulta ca ecuatia $(2^k)^3 + (21^k)^3 = y^3$ nu are solutii in numere naturale.
Pentru ecuatia $2^x + 21^x =z^2$ se observa usor ca x este par(acest lucru se observa daca ne uitam la ecuatie modulo 3) si de aici ecuatia se rezolva foarte usor.