Relaţie de divizibilitate

Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Relaţie de divizibilitate

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Fie $a,b,c\in \Bbb{N}$. Este posibil ca $2013(ab+bc+ca)\mid a^2+b^2+c^2$?
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
ghenghea1
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

Re: Relaţie de divizibilitate

Mesaj de ghenghea1 »

Eu consider că nu există așa numere,căci a^2 + b^2 + c^2<2013(ab+bc+ca)
Liceul Teoretic Cobani
DanDumitrescu
Mesaje: 108
Membru din: Dum Aug 17, 2014 4:42 pm

Re: Relaţie de divizibilitate

Mesaj de DanDumitrescu »

Acea inegalitate pe care ai scris-o nu este întotdeauna adevărată.Încearcă a=2015 b=c=1
Liceul National Alexandru Lahovari
ghenghea1
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

Re: Relaţie de divizibilitate

Mesaj de ghenghea1 »

Greșeala mea...
Liceul Teoretic Cobani
ghenghea1
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

Re: Relaţie de divizibilitate

Mesaj de ghenghea1 »

Dar adevarat este faptul ca nu exista numere naturale care sa satisfaca conditia problemei.
Liceul Teoretic Cobani
DanDumitrescu
Mesaje: 108
Membru din: Dum Aug 17, 2014 4:42 pm

Re: Relaţie de divizibilitate

Mesaj de DanDumitrescu »

Cred ca ideea pentru a arată acest fapt este ca 3|a^2+b^2+c^2 si de aici as zice ca aplicam principiul coborarii lui Fermat.Varianta ca a,b,c sa fie M3+1 pica deoarece ar da ca 9 divide un M9+3.Sper sa nu ma fi inselat cu ceva. :roll:
Liceul National Alexandru Lahovari
tudordimitrepopi
Mesaje: 24
Membru din: Joi Dec 26, 2013 6:09 pm

Re: Relaţie de divizibilitate

Mesaj de tudordimitrepopi »

Daca a=b=1(mod 9) si c=2 (mod9) nu iti da.In schimb, considerand ecuatia mod 11, rezulta ca a, b si c sunt divizibile cu 11.Acum folosesti metoda descendentei Fermat
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Relaţie de divizibilitate

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Problema este de la IRAN TST 2013.
Hint: Scrieți relația ca $(2013k+2)(a^2+b^2+c^2) = 2013k\cdot (a+b+c)^2$ și uitați-vă la exponentul unui divizor prim $p\equiv 2\ (mod\ 3)$ în ambii membri.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Scrie răspuns