puterea unui numar prim
-
- Mesaje: 48
- Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
- Contact:
puterea unui numar prim
Daca$p^n=a^2+2b^2$,p>2,prim,atunci $\exists x,y\in N$ astfel incat $p^2=x^2+2y^2$
-
- Mesaje: 491
- Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
- Localitate: Sinesti
Re: puterea unui numar prim
Problema a fost data la un baraj mai vechi de seniori.
Hint: Incercati sa demonstrati ca $n=a^2+2b^2<=>$ daca $p|n$ impar, atunci $p\equiv 1$ sau $7(mod\,\; 8)$.
Hint: Incercati sa demonstrati ca $n=a^2+2b^2<=>$ daca $p|n$ impar, atunci $p\equiv 1$ sau $7(mod\,\; 8)$.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
-
- Mesaje: 48
- Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
- Contact:
puterea unui numar prim
Hint:incearca sa demonstrezi ca daca $A^n=\begin{pmatrix}a&-b\\2b&a \end{pmatrix}$atunci $A^2$ are forma $\begin{pmatrix}x&-y\\2y&x \end{pmatrix}$
- Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Re: puterea unui numar prim
Voi începe cu următoarea lemă:
Fie $p$ un număr prim. Atunci $\dbinom{-2}{p}=1\Leftrightarrow p\equiv 1,3\ (mod\ 8)$, unde mă refer (evident) la simbolul Legendre.
Acest rezultat se demonstrează imediat folosind faptul că $\dbinom {-2}p = \dbinom {-1}p \cdot \dbinom 2p = (-1)^{\frac {p-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$.
Următorul rezultat este mult mai tare decât problema, după cum se va vedea că problema iese imediat cu ajutorul lui:
Teoremă. Un număr prim congruent cu $1$ sau $3$ modulo $8$ se poate scrie ca $x^2+2y^2$, unde $x,y\in \Bbb{N}$.
Vom lucra în inelul euclidian $\Bbb{Z}[-2]$. (se găsește ușor pe net acest rezultat)
Cum $-2$ este rest pătratic modulo $p$, există un $m\in \Bbb{N}$ pentru care $p\mid m^2+2$.
Atunci evident $p\mid (m-\sqrt{-2})(m+\sqrt{-2})$ în $\Bbb{Z}[-2]$, însă evident $p\nmid m\pm \sqrt{-2}$, așdara $p$ nu este prim.
Dar în UFD-uri, primele coincid cu ireductibilii, deci $p$ nu e ireductibil, așadar poate fi scris ca $p=uw$, unde $w,w\in \Bbb{Z}[-2]$, iar $u,w$ nu sunt unități.
Trecem la normă și obținem $p^2=N(u)\cdot N(w)\Rightarrow N(u)=N(w)=p$, ceea ce este echivalent cu faptul că există $x,y\in \Bbb{N}$ a.î. $x^2+2y^2=p$.
Acum să revin la problema inițială. Bănuiesc că $x,y$ sunt nenule, altfel este trivial...
Din prima relație obținem imediat că $-2$ este rest pătratic modulo $p$, așadar există un $t\in \Bbb{Z}[-2]$ pentru care $N(u)=p$.
Mai trebuie doar să observăm că $N(u^2)=p^2$ și de acolo îi găsim pe $x$ și pe $y$.
Fie $p$ un număr prim. Atunci $\dbinom{-2}{p}=1\Leftrightarrow p\equiv 1,3\ (mod\ 8)$, unde mă refer (evident) la simbolul Legendre.
Acest rezultat se demonstrează imediat folosind faptul că $\dbinom {-2}p = \dbinom {-1}p \cdot \dbinom 2p = (-1)^{\frac {p-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$.
Următorul rezultat este mult mai tare decât problema, după cum se va vedea că problema iese imediat cu ajutorul lui:
Teoremă. Un număr prim congruent cu $1$ sau $3$ modulo $8$ se poate scrie ca $x^2+2y^2$, unde $x,y\in \Bbb{N}$.
Vom lucra în inelul euclidian $\Bbb{Z}[-2]$. (se găsește ușor pe net acest rezultat)
Cum $-2$ este rest pătratic modulo $p$, există un $m\in \Bbb{N}$ pentru care $p\mid m^2+2$.
Atunci evident $p\mid (m-\sqrt{-2})(m+\sqrt{-2})$ în $\Bbb{Z}[-2]$, însă evident $p\nmid m\pm \sqrt{-2}$, așdara $p$ nu este prim.
Dar în UFD-uri, primele coincid cu ireductibilii, deci $p$ nu e ireductibil, așadar poate fi scris ca $p=uw$, unde $w,w\in \Bbb{Z}[-2]$, iar $u,w$ nu sunt unități.
Trecem la normă și obținem $p^2=N(u)\cdot N(w)\Rightarrow N(u)=N(w)=p$, ceea ce este echivalent cu faptul că există $x,y\in \Bbb{N}$ a.î. $x^2+2y^2=p$.
Acum să revin la problema inițială. Bănuiesc că $x,y$ sunt nenule, altfel este trivial...
Din prima relație obținem imediat că $-2$ este rest pătratic modulo $p$, așadar există un $t\in \Bbb{Z}[-2]$ pentru care $N(u)=p$.
Mai trebuie doar să observăm că $N(u^2)=p^2$ și de acolo îi găsim pe $x$ și pe $y$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.