puterea unui numar prim

TheodorMunteanu
Mesaje: 48
Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
Contact:

puterea unui numar prim

Mesaj de TheodorMunteanu »

Daca$p^n=a^2+2b^2$,p>2,prim,atunci $\exists x,y\in N$ astfel incat $p^2=x^2+2y^2$
andreiteodor
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: puterea unui numar prim

Mesaj de andreiteodor »

Problema a fost data la un baraj mai vechi de seniori.
Hint: Incercati sa demonstrati ca $n=a^2+2b^2<=>$ daca $p|n$ impar, atunci $p\equiv 1$ sau $7(mod\,\; 8)$.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
TheodorMunteanu
Mesaje: 48
Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
Contact:

puterea unui numar prim

Mesaj de TheodorMunteanu »

Hint:incearca sa demonstrezi ca daca $A^n=\begin{pmatrix}a&-b\\2b&a \end{pmatrix}$atunci $A^2$ are forma $\begin{pmatrix}x&-y\\2y&x \end{pmatrix}$
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: puterea unui numar prim

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Voi începe cu următoarea lemă:

Fie $p$ un număr prim. Atunci $\dbinom{-2}{p}=1\Leftrightarrow p\equiv 1,3\ (mod\ 8)$, unde mă refer (evident) la simbolul Legendre.
Acest rezultat se demonstrează imediat folosind faptul că $\dbinom {-2}p = \dbinom {-1}p \cdot \dbinom 2p = (-1)^{\frac {p-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$.

Următorul rezultat este mult mai tare decât problema, după cum se va vedea că problema iese imediat cu ajutorul lui:


Teoremă. Un număr prim congruent cu $1$ sau $3$ modulo $8$ se poate scrie ca $x^2+2y^2$, unde $x,y\in \Bbb{N}$.
Vom lucra în inelul euclidian $\Bbb{Z}[-2]$. (se găsește ușor pe net acest rezultat)
Cum $-2$ este rest pătratic modulo $p$, există un $m\in \Bbb{N}$ pentru care $p\mid m^2+2$.
Atunci evident $p\mid (m-\sqrt{-2})(m+\sqrt{-2})$ în $\Bbb{Z}[-2]$, însă evident $p\nmid m\pm \sqrt{-2}$, așdara $p$ nu este prim.
Dar în UFD-uri, primele coincid cu ireductibilii, deci $p$ nu e ireductibil, așadar poate fi scris ca $p=uw$, unde $w,w\in \Bbb{Z}[-2]$, iar $u,w$ nu sunt unități.
Trecem la normă și obținem $p^2=N(u)\cdot N(w)\Rightarrow N(u)=N(w)=p$, ceea ce este echivalent cu faptul că există $x,y\in \Bbb{N}$ a.î. $x^2+2y^2=p$.

Acum să revin la problema inițială. Bănuiesc că $x,y$ sunt nenule, altfel este trivial...
Din prima relație obținem imediat că $-2$ este rest pătratic modulo $p$, așadar există un $t\in \Bbb{Z}[-2]$ pentru care $N(u)=p$.
Mai trebuie doar să observăm că $N(u^2)=p^2$ și de acolo îi găsim pe $x$ și pe $y$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Scrie răspuns