a si b cu a+b prim-Vranceanu-Procopiu 2010

[drytime]

Demonstrati ca pentru orice multime $A\subseteq \{1,2,...,2n\}$ cu $\vert A \vert \geq n+1$, exista o pereche de elemete $a,b \in A$ cu $a \neq b$ si $a+b=p$ numar prim.

[Laurențiu Ploscaru]

Vom face inducţie după $n$ şi întărim grosolan ipoteza de inducţie astfel:
Presupunem că pentru orice $k=\overline{1,n-1}$ există o partiţie $A_1,A_2,...,A_k$ cu $|A_i|=2$ pentru orice $i\in \{1,2,...,k\}$ a mulţimii $\{1,2,3,...,2k\}$ a.î. suma elementelor fiecărei submulţimi să fie număr prim.
Evident pentru $n=1$ ipoteza de inducţie este verificată; să o demonstrăm acum pentru $k=n$.
Conform postulatului lui Bertrand există un număr prim $q$ (evident impar) între $2n$ şi $4n$.
Numerele de la $1$ la $q-2n-1$ pot fi grupate astfel conform ipotezei de inducţie, iar restul submulţimilor le alegem de tipul $\{q-2n+t,2n-t\}$.
Am demonstrat astfel acest rezultat, care evident implică concluzia.