B.4478 Komal

Stefan Tudose
Mesaje: 258
Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm

B.4478 Komal

Mesaj de Stefan Tudose »

Prove that if $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ are the angles of an acute-angled triangle then $\mathrm{tg}^3\alpha+\mathrm{tg}^3\beta+\mathrm{tg}^3\gamma\ge 9\sqrt{3}$
BocanuMarius
Mesaje: 365
Membru din: Vin Dec 17, 2010 8:44 am

Re: B.4478 Komal

Mesaj de BocanuMarius »

Hint: Foloseste multiplicatori Lagrange.
Exista lucruri care stim ca sunt imposibil de realizat, pana vine cineva care nu stie acest lucru si le realizeaza.
Stefan Tudose
Mesaje: 258
Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm

Re: B.4478 Komal

Mesaj de Stefan Tudose »

Am atasat solutia mea.
Fişiere ataşate
B.4478.zip
(89.57 KiB) Descărcat de 342 ori
ghenghea1
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

Re: B.4478 Komal

Mesaj de ghenghea1 »

Stefan Tudose scrie:Am atasat solutia mea.
Când am văzut problema,dintr-o data m-am gândit că trebuie să aplicăm "Jensen".
Interesantă problemă!
Liceul Teoretic Cobani
Virgil Nicula
Mesaje: 244
Membru din: Sâm Oct 30, 2010 3:55 pm
Localitate: Bradenton, Florida

Re: B.4478 Komal

Mesaj de Virgil Nicula »

Stefan Tudose scrie:Prove that if $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ are the angles of an acute-angled triangle then $\mathrm{tg}^3\alpha+\mathrm{tg}^3\beta+\mathrm{tg}^3\gamma\ge 9\sqrt{3}$
Can use only $A.M.\ \ge\ G.M.$ :


Proof. Denote $\tan\alpha=x\ ,\ \tan\beta=y\ ,\ \tan\gamma=z$ , where $x+y+z=xyz$ and $\{\alpha ,\beta ,\gamma\}\subset \left(0,\frac {\pi}2\right)\implies$ $\{x,y,z\}\subset \mathbb R^*_{+}\equiv (0,\infty )$ . Thus,

$xyz=x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}\implies$ ${(xyz)^3\ge 27(xyz)\implies \boxed{xyz\ge 3\sqrt 3}\ (*)$ . Hence $x^3+y^3+z^3\ge 3xyz\ \stackrel{(*)}{\implies}\ x^3+y^3+z^3\ge 9\sqrt 3$ .
Scrie răspuns