Pagina 1 din 1
Bisectoare (Problema C.1411 din KOMAL, nr./martie 2017)
Scris: Sâm Apr 15, 2017 5:59 am
de mihai miculita
In triunghiul $ABC,$ cu: $m(\widehat{ACB})=120^0;$ notam cu $D-$piciorul bisectoarei unghiului $\widehat{ACB}.$
Aratati ca: $\dfrac{1}{|CD|}=\dfrac{1}{|AC|}+\dfrac{1}{|BC|}.$
ADRESA, la care gasiti problemele din rev.KOMAL(in lb.engleza!) este:
https://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
Re: Bisectoare (Problema C.1411 din KOMAL, nr./martie 2017)
Scris: Sâm Apr 15, 2017 3:53 pm
de sunken rock
Hint: Construct the equilateral triangle $ABE, AB$ separating $C$ and $E$, see that $C-D-E$ are collinear. According to van Schooten theorem $CE=AC+CB\ (\ 1 \ )$, but $CD\cdot CE=CA\cdot CB$; with $(1)$ we are done.
Best regards,
sunken rock
Re: Bisectoare (Problema C.1411 din KOMAL, nr./martie 2017)
Scris: Lun Apr 17, 2017 7:33 am
de mihai miculita
De fapt relatia din problema C.1411 si rel. lui Van Schooten sunt echivalente (din fiecare dintre cele 2 relatii, rezulta cealalta).
Eu am gasit o alta solutie, considerand punctul $E$, astfel incat sa avem: $A\in(BE);$ $|AE|=|AC|$, atunci $\Delta{ACE}-$obtinut este echilateral, in plus avem: $CE\parallel{CE}\Rightarrow\dfrac{|AD|}{|CE|}=\dfrac{|AB|}{|AE|}\Rightarrow$
$\Rightarrow\dfrac{|AD|}{|AC|}=\dfrac{|AB|}{|AB|+|AC|}\Rightarrow\dfrac{1}{|AD|}=\dfrac{|AB|+|AC|}{|AB|.|AC|}=\dfrac{1}{|AC|}+\dfrac{1}{|AB|}.$
ATENTIE: Demonstratia mea, de aici, este pentru cazul in care $m(\widehat{BAC})=120^0$ si $[AD]-$este bisectoarea sa.