Tangente la cercuri secante...(OM-Moskova)

[mihai miculita]

Fie $(O_1)$ si $(O_2)$ doua cercuri secante in punctele $A$ si $B$. Tangenta in $A$ la cercul $(O_2)$ intersecteaza a doua oara cercul $(O_1)$ in punctul $M$; iar $A$ la cercul $(O_1)$ intersecteaza a doua oara cercul $(O_2)$ in punctul $N$.
Notam cu: $P-$ cel de al doilea punct de intersectie al dreptei $MB$ cu cercul $(O_2)$ si cu $Q-$ cel de al doilea punct de intersectie al dreptei $NB$ cu cercul $(O_1)$. Aratati ca: $[MP]\equiv[NQ].$

[dangerous storm]

Hint:$\triangle{ABM}\sim\triangle{NBA}$.De aici va rezulta ca $AB$ este simediana in $\triangle{AMN}$,dar in acelasi timp si bisectoarea unghiului $\measuredangle{MBN}$...

[Marius Stănean]

$\angle QAM=\angle QBM=\angle PBN=\angle PAN$
$\angle AMB=\angle AQB$
$\angle APM = \angle ANQ$
$\angle MBA=180^\circ -\angle MAB-\angle MBA=$ $180^\circ-\angle ANB-\angle BAN=180^\circ-\angle ABQ\Longrightarrow AQ=AM$
deci $\triangle AQN\equiv\triangle AMP$