P3, OIM-Tailanda-2015

[mihai miculita]

Fie $ABC$ un triunghi ascutitunghic in care $|AB|>|AC|.$ Fie $H-$ortocentrul triunghiului si $H_x;\,x\in\{a,b,c\}$ picioarele inaltimilor sale, iar $M-$mijlocul laturii $[BC].$ Notam cu $Q$ acel punct al cercului $\odot{ABC},$ pentru care: $m\left(\widehat{AQH}\right)=90^0$ si cu $K,$ acel punct al cercului $\odot{ABC},$pentru care are loc: $m\left(\widehat{HKQ}\right)=90^0.$ Presupunem ca punctele $A,B,C,K$ si $Q$ sunt distinte, doua cate doua si sunt dispuse pe cercul $\odot{ABC},$ in aceasta ordine. Demonstrati ca cercurile $\odot{KQH}$ si $\odot{MH_aK}$ sunt tangente intre ele.