Inegalitati 3 necunoscute

[panti]

Daca a,b,c>0, a+b+c=1 atunci demonstrati ca a^2+b^2+c^2≥4/9(ab+bc+ca+1)
Thanks!

[ghenghea1]

$\sum_{cyc} a^2 \ge \frac{4}{9\left( \sum_{cyc}{ab} +1\right)}$,așa arată?

[panti]

da cam asa

[seby]

Noteaza cu p=ab+bc+ac.Din $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$ scoti ca $p\le \dfrac{1}{3}$(1).Tinand cont ca $a^2+b^2+c^2=1-2p$,ineg este echivalenta cu $\dfrac{5}{9} \ge 2p^2+p$,evident din (1).