JBTST 3/2012, problema 1

[andreiteodor]

Fie $a,b,c,d\in \Bbb{R}^{*}$ disitncte doua cate doua care satisfac urmatoarele doua conditii :
$ac=bd\,\; , \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=4$.
Aflati cea mai mare valoare a expresiei $\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{d}{b}$.

[Vintu Vladimir]

din prima relatie obtinem ca $a=\dfrac{bd}{c}$ si inlocuind in a doua relatie rezulta $\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{c}{b}=4$

daca notam $\dfrac{b}{c}=x$ si $\dfrac{c}{d}=y$, relatia de mai sus este echivalenta cu $x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=4$, iar expresia de maximizat va fi egala cu $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+xy+\dfrac{1}{xy}+xy=(x+\dfrac{1}{x})(y+\dfrac{1}{y})$
mai departe notam $x+\dfrac{1}{x}=A$ si $y+\dfrac{1}{y}=B$ si rezulta $A+B=4$
daca $A,B>0\Rightarrow A,B\ge 2$, deci $A=B=2$, de unde $x=1\Rightarrow b=c$ $(F)$
in caz contrar, cum nu putem avea $A,B<0$ rezulta ca $A$ si $B$ sunt de o parte si de alta a lui 0
WLOG $A>0$ si $B<0\Rightarrow B\le -2$, deci $A\ge 6$
avem ca $AB=A(4-A)$ si cum $A(A-4)\ge 6*2=12\Rightarrow A(4-A)\le -12$
ca sa obtinem egalitate luam $A=6$ si $B=-2$, deci $x=-1$ si $y=3\pm 2\sqrt{2}$, deci $c=d(3\pm 2\sqrt{2}), b=d(3\mp 2\sqrt{2})$ si $a=-d$
in concluzie, cea mai mare valoare a expresiei este $-12$

[andreiteodor]

Solutia mea: Prin cateva calcule, se arata ca $\sum\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab+bc+cd+da}{ac}$ si $\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{d}{b}=\dfrac{\sum a^2}{ac}$, apoi se folseste inegalitatea evidneta $(\sum a)^2\ge 0\Rightarrow \sum a^2\ge -\sum ab+ac+bd$, dupa care se demonstraza ca expresia data este cel mult $-12$, folsind si $ac<0$.