Ec. diofantica (Italia-2016, pregatire lot)

[mihai miculita]

Rezolvati in multimea numerelor intregi, ecuatia: $n^5+n^4+n^3+n^2+n+1=m^2.$

[tudordarius]

Ecuatia se scrie ca (n+1)*(n^4+n^2+1) iar al doilea factor se scrie ca (n^2+1)^2-n^2=(n^2-n+1)(n^2+n+1)
Acum trebuie ca numarul N=(n+1)*(n^2-n+1)*(n^2+n+1) sa fie patrat perfect.
Se arata usor ca (n^2+n+1,n+1)=(n^2-n+1,n^2+n+1)=1 (1) si acum daca numarul n^2+n+1 nu ar fi patrat perfect si ar fi egal cu un a^2*p cu p liber de patrate,p>1, atunci pentru ca N sa fie patrat perfect n+1 este divizibil cu p sau n^2-n+1 sa fie divizibil cu p, fapt ce contrazice afirmatia de la (1).
Deci numarul n^2+n+1=a^2 cu a natural, de unde se obtine ecuatia (2n+1)^2+3=(2a)^2 cu a natural si n intreg. Scriem ecuatia ca (2a-2n-1)(2a+2n+1)=3 si nu e dificil sa demonstram ca n=-1 si n=0 sunt singurele solutii. Intr-adevar pentru n=-1 obtinem m=0 iar pentru n=0 obtinem |m|=1.