o inifinitate de numere prime
o inifinitate de numere prime
Să se demonstreze că există o infnitate de numere prime $p$ astfel încât pentru fiecare $p$ există un număr natural $n$ pentru care $n!+1$ este divizibil prin $p$, iar $p-1$ nu este divizibil prin $n$.
Liceul Teoretic Cobani
- Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Re: o inifinitate de numere prime
Vrem să construim o secvență infinită $p_0,p_1,p_2,...$ de numere prime ce satisfac cerința.
Alegem $p_0=61$. Alegerea este bine făcută deoarece $61$ divide $8!+1$.
Să presupunem că avem numerele $p_0<p_1<...<p_{k-1}$ și vrem să găsim un nou număr $p_k$.
Ne uităm la un număr $n\equiv 1\ (mod\ 6)$ cu $n>p_{k-1}$ și alegem un divizor prim $p$ al lui $n!+1$.
E clar că $p>n>p_{k-1}$, iar $n$ fiind impar obținem chiar $p-1>n$. Din Wilson $(p-1)!\equiv -1\ (mod\ p)$.
Să notăm cu $x=p-n-1$ și să observăm că $(p-1)!=n!\cdot (p-x)(p-x+1)\cdot ...\cdot (p-1)$ $\equiv (-1)\cdot (-1)^x \cdot x!\equiv x!\ (mod\ p)$ deoarece $x$ este impar.
Deci și $x!+1$ e divizibil cu $p$. Presupunând că $x$ și $n$ ar divide simultan $p-1=x+n$, ar reieși că $x=n$.
Or acest lucru ar însemna că $p=2n+1$, $p$ fiind mare și divizibil cu $3$, contradicție! Putem deci alege $p_k$ ca fiind $p$, demonstrația încheindu-se.
Alegem $p_0=61$. Alegerea este bine făcută deoarece $61$ divide $8!+1$.
Să presupunem că avem numerele $p_0<p_1<...<p_{k-1}$ și vrem să găsim un nou număr $p_k$.
Ne uităm la un număr $n\equiv 1\ (mod\ 6)$ cu $n>p_{k-1}$ și alegem un divizor prim $p$ al lui $n!+1$.
E clar că $p>n>p_{k-1}$, iar $n$ fiind impar obținem chiar $p-1>n$. Din Wilson $(p-1)!\equiv -1\ (mod\ p)$.
Să notăm cu $x=p-n-1$ și să observăm că $(p-1)!=n!\cdot (p-x)(p-x+1)\cdot ...\cdot (p-1)$ $\equiv (-1)\cdot (-1)^x \cdot x!\equiv x!\ (mod\ p)$ deoarece $x$ este impar.
Deci și $x!+1$ e divizibil cu $p$. Presupunând că $x$ și $n$ ar divide simultan $p-1=x+n$, ar reieși că $x=n$.
Or acest lucru ar însemna că $p=2n+1$, $p$ fiind mare și divizibil cu $3$, contradicție! Putem deci alege $p_k$ ca fiind $p$, demonstrația încheindu-se.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.