o inifinitate de numere prime

ghenghea1
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

o inifinitate de numere prime

Mesaj de ghenghea1 »

Să se demonstreze că există o infnitate de numere prime $p$ astfel încât pentru fiecare $p$ există un număr natural $n$ pentru care $n!+1$ este divizibil prin $p$, iar $p-1$ nu este divizibil prin $n$.
Liceul Teoretic Cobani
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: o inifinitate de numere prime

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Vrem să construim o secvență infinită $p_0,p_1,p_2,...$ de numere prime ce satisfac cerința.

Alegem $p_0=61$. Alegerea este bine făcută deoarece $61$ divide $8!+1$.

Să presupunem că avem numerele $p_0<p_1<...<p_{k-1}$ și vrem să găsim un nou număr $p_k$.

Ne uităm la un număr $n\equiv 1\ (mod\ 6)$ cu $n>p_{k-1}$ și alegem un divizor prim $p$ al lui $n!+1$.

E clar că $p>n>p_{k-1}$, iar $n$ fiind impar obținem chiar $p-1>n$. Din Wilson $(p-1)!\equiv -1\ (mod\ p)$.

Să notăm cu $x=p-n-1$ și să observăm că $(p-1)!=n!\cdot (p-x)(p-x+1)\cdot ...\cdot (p-1)$ $\equiv (-1)\cdot (-1)^x \cdot x!\equiv x!\ (mod\ p)$ deoarece $x$ este impar.

Deci și $x!+1$ e divizibil cu $p$. Presupunând că $x$ și $n$ ar divide simultan $p-1=x+n$, ar reieși că $x=n$.

Or acest lucru ar însemna că $p=2n+1$, $p$ fiind mare și divizibil cu $3$, contradicție! Putem deci alege $p_k$ ca fiind $p$, demonstrația încheindu-se.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Scrie răspuns