Tabăra MathTime - Problema 5, Ziua II - JUNIORI

Tabăra MathTime - Problema 5, Ziua II - JUNIORI

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Lun Sep 05, 2011 9:39 pm

Rezolvați în \Bbb{N} ecuația: 3^x+4^y=5^z.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Tabăra MathTime - Problema 5, Ziua II - JUNIORI

Mesajde andreiteodor » Mie Sep 07, 2011 1:20 pm

Daca x=0, ecuatia devine :
1+4^y=5^z.
Observam ca 4^y\equiv 1(mod3)=>5^z\equiv 2(mod3), adica z este impar. Pentru y=1, gasim z=1. Daca y>1, atunci reducem mod 8 si obtinem z par, contradictie.
Daca x>0, reducem mod 3 si tinand cont ca 4^y\equiv 1(mod3), obtinem z par. Fie z=2k. Atunci :
3^x=(5^k)^2-(2^y)^2=(5^k-2^y)(5^k+2^y).
Exista a,b naturale astfel incat :
5^k-2^y=3^a;5^k+2^y=3^b=>2*5^k=3^a+3^b.
Pentru k=0, a=b=0 si x=0, fals. Pentru k>0, se obsrva ca memebrul stang este divizibil cu 5 , deci a=0. Atunci :
5^k=2^y+1.
Cazurile y=0,1,2 se trateaza usor. Pentru y>3, reducem mod 8 si obtinem k par, dupa care folosim iar diferenta de patrate .
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti


Înapoi la Teoria Numerelor

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 4 vizitatori

cron