MathTime

Rezolvați în numere prime ecuația: $p^3-q^5=(p+q)^2$.

Presupunem ca p si q sunt ambele nedivizibile 3. Evident $p^3\equiv p(mod3)$ si $q^5\equiv q(mod3)$. Daca $p\equiv q(mod3)$, atunci membrul stang al ecuatiei date se divide cu 3=>3|(p+q), imposibil. In caz contrar, 3|p+q, dar membrul stang nu poate fi divizibil cu 3. Deci p=3 sau q=3.
Daca $p=3=>q^5<27$, imposibil.
Daca $q=3=>p^3-243=(3+p)^2=>p^3-p^2-6p=252=>p|252$. Verificand, obtinem p=7.