Tabăra MathTime - Problema 9, Ziua I - JUNIORI

Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Tabăra MathTime - Problema 9, Ziua I - JUNIORI

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Demonstrați că ecuația $x^4+y^4+z^4=2002^t$ are o infinitate de soluții în $\Bbb{N}$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
andreiteodor
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: Tabăra MathTime - Problema 9, Ziua I - JUNIORI

Mesaj de andreiteodor »

Se observa ca $2002=3^4+5^4+6^4$(*), deci o solutie a ecuatiei date este x=3;y=5;z=6 si t=1. Inmultind (*) cu $2002^{4k}$, k natural, obtinem :
$2002^{4k+1}=(3*2002^k)^4+(5*2002^k)^4+(6*2002^k)^4$,
de unde concluzia.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
Scrie răspuns