Tabăra MathTime - Problema 6, Ziua I - JUNIORI
-
Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Tabăra MathTime - Problema 6, Ziua I - JUNIORI
Găsiți toate soluțiile ecuației $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ în $\Bbb{Z}$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
-
andreiteodor
- Mesaje: 491
- Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
- Localitate: Sinesti
Re: Tabăra MathTime - Problema 6, Ziua I - JUNIORI
Ecuatia data se scrie astfel : xz+yz=xy. Fie (x;y)=d;x=ad si y=bd. Obtinem :
z(a+b)=dab.
Avem (a;b)=1=>(a;a+b)=(b;a+b)=1=>(ab;a+b)=1. Din ecuatia precedenta =>a+b|d si ab|z. Notam d=k(a+b). Obtinem :
z(a+b)=kab(a+b)=>z=kab. Atunci tripletele (x;y;z) apartin multimii :
{(ak(a+b);bk(a+b);kab)|a,b,k sunt intergi;(a;b)=1}.
z(a+b)=dab.
Avem (a;b)=1=>(a;a+b)=(b;a+b)=1=>(ab;a+b)=1. Din ecuatia precedenta =>a+b|d si ab|z. Notam d=k(a+b). Obtinem :
z(a+b)=kab(a+b)=>z=kab. Atunci tripletele (x;y;z) apartin multimii :
{(ak(a+b);bk(a+b);kab)|a,b,k sunt intergi;(a;b)=1}.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.