Tabăra MathTime - Problema 5, Ziua I - JUNIORI

Tabăra MathTime - Problema 5, Ziua I - JUNIORI

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Lun Sep 05, 2011 9:15 am

Determinați x,y,z\in \Bbb{Z} a.î. x+y+z=3 și x^3+y^3+z^3=3.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Tabăra MathTime - Problema 5, Ziua I - JUNIORI

Mesajde andreiteodor » Mie Sep 07, 2011 1:30 pm

Avem \sum x^3-3xyz=(x+y+z)(\sum x^2-\sum xy), deci :
1-xyz=\dfrac{1}{2}[\sum (x-y)^2], de unde xyz\le 1.
Daca xyz=1, inlocuind in relatia precedenta, gasim x=y=z=1.
Daca xyz\le 0, atunci observam ca toate numerele nu pot fi negative (x+y+z>0), deci un numar este negativ si doua pozitive. Presupunem x<0 si y;z>0. Notam |x|=a si avem :
-a+y+z=a^3+y^3+z^3=3=>y+z=a+3.
Cum y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2), vom avea a+3|a^3+3. Dar a+3|a^3+27, deci a+3|24. Se observa ca daca 3|a, 3|y+z si cum y^2+z^2-yz=(y+z)^2-3yz, atunci 9|y^3+z^3 , imposibil (reducem mod 9 in ecuatia -a^3+y^3+z^3=3). Atunci a+3|8, de unde gasim a=1 sau a=5. Nu ne mai ramane decat sa rezolvam sistemele rezultate.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: Tabăra MathTime - Problema 5, Ziua I - JUNIORI

Mesajde bilalkaan » Mie Sep 07, 2011 6:04 pm

Sau putem folosi identitatea (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c).
bilalkaan
 
Mesaje: 146
Membru din: Vin Noi 05, 2010 10:25 pm


Înapoi la Teoria Numerelor

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron