Tabăra MathTime - Problema 4, Ziua I - JUNIORI

Tabăra MathTime - Problema 4, Ziua I - JUNIORI

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Lun Sep 05, 2011 9:11 am

Determinați a,b,c\in \Bbb{N} cu 1<a<b<c a.î. (a-1)(b-1)(c-1)\mid (abc-1).
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Tabăra MathTime - Problema 4, Ziua I - JUNIORI

Mesajde andreiteodor » Mar Sep 06, 2011 8:04 am

Notam : a-1=x;b-1=y;c-1=z. Obtinem :
xyz|(x+1)(y+1)(z+1)-1<=>xyz|xy+yz+zx+x+y+z.
Evident xyz\le xy+yz+zx+x+y+z<=>\sum \dfrac{1}{x}+\sum \dfrac{1}{xy}\ge 1.Avem 0<x<y<z . Daca x\ge 3=>y\ge 4;z\ge 5 si vom avea :
\sum \dfrac{1}{x}+\sum \dfrac{1}{xy}\le \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{20}<1, contradictie.
Deci x=1 sau x=2. In primul caz , yz|yz+2(y+z)+1, deci yz|2(y+z)+1=>y|2z+1 si z|2y+1.Notam 2z+1=my si 2y+1=nz. Adunand si tinanad cont ca 1<y<z, deducem ca 2y+1=z. Atunci y|4y+3, adica y|3, deci y=3 si z=7. Analog cazul celalalt.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: Tabăra MathTime - Problema 4, Ziua I - JUNIORI

Mesajde Bogdan Stanoiu » Mar Sep 06, 2011 11:06 am

Laurentiu Ploscaru scrie:Determinați a,b,c\in \Bbb{N} cu 1<a<b<c a.î. (a-1)(b-1)(c-1)\mid (abc-1).

Daca inlocuim in enuntul problemei produsul (a-1)(b-1)(c-1) cu cel mai mic multiplu comun al numerelor (a-1);(b-1);(c-1) ce se intampla ?
Bogdan Stanoiu
 
Mesaje: 106
Membru din: Mie Iul 27, 2011 4:59 am


Înapoi la Teoria Numerelor

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron