Tabăra MathTime - Problema 1, Ziua I - JUNIORI

Tabăra MathTime - Problema 1, Ziua I - JUNIORI

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Lun Sep 05, 2011 8:30 am

Fie x,y,p,q\in \Bbb{N^*} cu p,q prime a.î. \frac{p}{x}+\frac{q}{y}=1. Determinați x și y în funcție de p și q.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Tabăra MathTime - Problema 1, Ziua I - JUNIORI

Mesajde andreiteodor » Lun Sep 05, 2011 2:32 pm

Din relatia data =>py+qx=xy. Fie (x;y)=d;x=ad si y=bd. Evident (a;b)=1. Avem :
pa+qb=dab=>a|qb=>a|q=> a este 1 sau q.
Analog b este 1 sau p. Studiem cele 4 cazuri posibile :
i)a=b=1=>p+q=d=>x=y=p+q.
ii)a=q;b=p=>p^2+q^2=dpq=>p|q^2=>p=q, contradicitie(a si b sunt prime intre ele).
In cazurile iii) si iv), gasim prin aceeasi metoda p=q si d=p+1, deci x=p+1 si y=p(p+1) sau invers.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti


Înapoi la Teoria Numerelor

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron