C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Mesajde Iman » Vin Sep 02, 2011 6:31 pm

Se dau $n$ multimi convexe A_1,..A_n astfel incat oricare $3$ sa aiba intersectia nevida.Sa se demonstreze ca toate multimile au o intersectie comuna.
Avatar utilizator
Iman
 
Mesaje: 51
Membru din: Mar Noi 16, 2010 9:51 pm
Localitate: Constanta

Re: C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Sâm Oct 01, 2011 8:42 am

Problema este cunoscuta si sub numele de Teorema lui Helly.
Demonstrația se face astfel. Luăm 3 poligoane A,B,C, Avem A\cap B\cap C\neq \emptyset.
Luăm un al patrulea, D. Avem că D are puncte comune cu A\cap B, cu B\cap C și cu C\cap A. Deci D are puncte comune cu A\cap B\cap C.
Continuând raționamentul obținem concluzia.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Mesajde drytime » Sâm Noi 19, 2011 7:24 pm

Laurentiu Ploscaru scrie:Luăm un al patrulea, D. Avem că D are puncte comune cu A\cap B, cu B\cap C și cu C\cap A. Deci D are puncte comune cu A\cap B\cap C.


Cum demonstrezi acel "deci"?
drytime
 
Mesaje: 183
Membru din: Lun Iul 19, 2010 4:56 pm

Re: C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Dum Noi 20, 2011 1:03 pm

Fie A,B,C 3 puncte necoliniare.
Lemă: Interiorul \triangle ABC (nu și punctele de pe laturi) se află în interiorul oricărui poligon convex cu 3 dintre vârfuri în punctele A,B,C sau cu A,B,C în interiorul lui sau pe laturi.
Presupunem prin absurd contrariul. Atunci există în interiorul \triangle ABC un vârf al poligonului D.
Orice dreptă care trece prin D va separa 2 dintre cele 3 puncte (adică și dreapta suport a unei laturi cu o extremitate în D), deci poligonul nu este convex, contradicție!
Astfel lema e demonstrată. Să revenim la problemă.

Fie punctele X,Y,Z a.î. X\in D\cap A\cap B, Y\in D\cap B\cap C și Z\in D\cap C\cap A.
Evident X,Y,Z îndeplinesc proprietatea punctelor A,B,C din lemă, deci interiorul \triangle XYZ este în interiorul poligonului D.
Cum A\cap B\cap C are evident (bănuiesc că aceasta nu are nevoie de demonstrație) puncte comune cu interiorul \triangle XYZ, acel DECI este demonstrat.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești


Înapoi la Combinatorica

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron