MathTime

de **Iman** » Vin Sep 02, 2011 6:31 pm

Se dau

multimi convexe A_1

,..

astfel incat oricare $3$

sa aiba intersectia nevida.Sa se demonstreze ca toate multimile au o intersectie comuna.

de **Laurențiu Ploscaru** » Sâm Oct 01, 2011 8:42 am

Problema este cunoscuta si sub numele de Teorema lui Helly.
Demonstrația se face astfel. Luăm

poligoane

, Avem $A\cap B\cap C\neq \emptyset$ .
Luăm un al patrulea,

. Avem că

are puncte comune cu $A\cap B$ , cu $B\cap C$ și cu $C\cap A$ . Deci

are puncte comune cu $A\cap B\cap C$ .
Continuând raționamentul obținem concluzia.

de **drytime** » Sâm Noi 19, 2011 7:24 pm

Laurentiu Ploscaru scrie:Luăm un al patrulea, . Avem că are puncte comune cu $A\cap B$ , cu $B\cap C$ și cu $C\cap A$ . Deci are puncte comune cu $A\cap B\cap C$ .

Cum demonstrezi acel "deci"?

de **Laurențiu Ploscaru** » Dum Noi 20, 2011 1:03 pm

Fie

3 puncte necoliniare.
Lemă: Interiorul $\triangle ABC$ (nu și punctele de pe laturi) se află în interiorul oricărui poligon convex cu 3 dintre vârfuri în punctele A,B,C

sau cu

în interiorul lui sau pe laturi.
Presupunem prin absurd contrariul. Atunci există în interiorul $\triangle ABC$ un vârf al poligonului

.
Orice dreptă care trece prin

va separa 2 dintre cele 3 puncte (adică și dreapta suport a unei laturi cu o extremitate în

), deci poligonul nu este convex, contradicție!
Astfel lema e demonstrată. Să revenim la problemă.

Fie punctele X,Y,Z

a.î. $X\in D\cap A\cap B$ , $Y\in D\cap B\cap C$ și $Z\in D\cap C\cap A$ .
Evident X,Y,Z

îndeplinesc proprietatea punctelor A,B,C

din lemă, deci interiorul $\triangle XYZ$ este în interiorul poligonului

.
Cum $A\cap B\cap C$ are evident (bănuiesc că aceasta nu are nevoie de demonstrație) puncte comune cu interiorul $\triangle XYZ$ , acel DECI este demonstrat.

MathTime

C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Re: C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Re: C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Re: C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua2.ex3

Cine este conectat