C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua1.ex2

C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua1.ex2

Mesajde Iman » Vin Sep 02, 2011 5:30 pm

La un concurs,fiecare problema este rezolvata exact de $4$ elevi,iar fiecare pereche de probleme este rezolvata de un singur elev.Sa se gaseasca numarul maxim de probleme stiind ca niciun elev nu le-a rezolvat pe toate.
Avatar utilizator
Iman
 
Mesaje: 51
Membru din: Mar Noi 16, 2010 9:51 pm
Localitate: Constanta

Re: C-Tabara MATHTIME-Jupiter.ziua1.ex2

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Joi Sep 08, 2011 4:24 pm

Această problemă a fost dată la Olimpiada națională de juniori, Turcia 2010. Soluție:

Fie P_1,P_2,P_3,...,P_n problemele și E_1,E_2,...,E_k elevii. Fie P_1,P_2,...,P_x, problemele rezolvate de E_1. atunci există problema P_{x+1} pe care n-a rezolvat-o E_1.
Atunci putem presupune că (P_1,P_{x+1}) a fost rezolvată de E_2, (P_2,P_{x+1}) a fost rezolvată de E_3 etc.
Dar fiecare problemă a fost rezolvată de 4 elevi, deci fiecare elev a rezolvat maxim 4 probleme. Deci x=4.
Iar pentru a avea maxim de probleme este necesar să avem maxim de elevi, deci perechile de probleme (P_1,P_5),(P_2,P_5),...,(P_4,P_5) să fie făcute de elevi distincți.
Deci avem maxim 4\cdot 3+1=13 probleme.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești


Înapoi la Combinatorica

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron