Problema numere prime

[Viran Mihnea]

Determinați numerele prime p și q pentru care $p^3+p=q^2+q$

[tudordarius]

Relatia din enunt este echivalenta cu p*(p^2+1)=q*(q+1),(1) care este divizibila cu p
Cum p este prim rezulta ca q este divizibil cu p sau q+1 este divizibil cu p
Daca q este divizibil cu p , din faptul ca cele doua numere sunt prime rezulta ca q=p => p^2+p=p^3+p => p=q=1 (Fals)
Daca q+1 este divizibil cu p => exista k (natural nenul) astfel incat q+1=p*k => q=pk-1
Din (1) analog se arata ca p^2+1 este divizibil cu q+1 <=> p^2+1 este divizibil cu pk-1
=> k*(p^2+1) este divizibil cu pk-1 <=>k*p^2+k este divizibil cu pk-1(2)
Dar p*(pk-1)=k*p^2-p este divizibil cu pk-1(3)
Scazand cele doua relatii (2) si (3) obtinem ca p+k este divizibil cu pk-1 =>p+k>=pk-1 <=> 2>=(k-1)*(p-1) (4)
Daca p=2 rezulta ca q*(q+1)=8+2=10 si nu se obtine solutie pe N
Daca p>4 rezulta ca p-1>2 => Din (4) ca k-1=0 => k=1 => q+1=p, Dar p este impar => q este par
q este prim deci q=2 => p^3+p=6, fara solutie pe N
Mai ramane de analizat cazul 2<p<4 =>p=3 unde se obtine solutia q=5
Rezulta (3,5) este singura solutie a ecuatiei