Numere reale 1 (conc.Ungaria, 2015)

mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Numere reale 1 (conc.Ungaria, 2015)

Mesaj de mihai miculita »

Numerele reale $x,y,z$ satisfac conditiile: $x+y+z=5$ si $xy+xz+yz=8.$ Aratati ca: $x,y,z\in\left[1;\dfrac{7}{3}\right].$
dangerous storm
Mesaje: 145
Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm

Re: Numere reale 1 (conc.Ungaria, 2015)

Mesaj de dangerous storm »

Avem: $x(y+z)=x(5-x)=5x-x^2=8-yz,$ deci $x^2-5x+8=yz\le \left(\dfrac{y+z}{2}\right)^2=\left(\dfrac{5-x}{2}\right)^2,$ de unde rezulta(dupa putin calcul) ca: $(x-1).\left(x-\dfrac{7}{3}\right)\le 0,$ deci $x\in \left[1,\dfrac{7}{3}\right]$.
In mod analog se demonstreaza ca: $y,z\in \left[1,\dfrac{7}{3}\right].$
Virgil Nicula
Mesaje: 244
Membru din: Sâm Oct 30, 2010 3:55 pm
Localitate: Bradenton, Florida

Re: Numere reale 1 (conc.Ungaria, 2015)

Mesaj de Virgil Nicula »

See PP14 from here
Scrie răspuns