partea fractionara a lui a
-
- Mesaje: 251
- Membru din: Lun Aug 06, 2012 3:35 pm
partea fractionara a lui a
Se considera numerele $p,q \in N^*$ cu $1\le q\le p$ si $a=(\sqrt{p^2+q}+p)^2$.Sa se arate ca $a$ este irational si ca partea fractionara a lui $a$ este mai mare decat $0.75.$
-
- Mesaje: 61
- Membru din: Mar Mai 15, 2012 8:32 pm
- Localitate: Iasi
Re: partea fractionara a lui a
Observam ca A= $\22p^2$ + q + 2p$\sqrt{p^2+q}$. Cum p,q sunt din $\Bbb{N}$, pentru a arata ca A este irational, vom arata ca 2p$\sqrt{p^2+q}$ este irational. Lucru de altfel adevarat, deoarece daca am presupune prin reducere la absurd ca ar fi rational, ar insemna ca $\sqrt{p^2+q}$ sa fie rational, dar cum p si q sunt naturale iar, $p^2$<$p^2$+q<$(p+1)^2$, CONTRADICTIE (q<p).
Pentru a doua cerinta observam ca partea fractionara a lui A este data de partea fractionara a lui 2p$\sqrt{p^2+q}$, deci vom calcula partea fractionara a acestuia. [2p$\sqrt{p^2+q}$] = 2$p^2$ +q-1, acest lucru aratandu-se usor:
2$p^2$ +q-1 < 2p$\sqrt{p^2+q}$ < 2$p^2$ +q. Pentru a arata ca partea fractionara a lui 2p$\sqrt{p^2+q}$ este mai mare ca 0.75, vom arata ca
2$p^2$ +q-1+0.75 < 2p$\sqrt{p^2+q}$, iar astfel rezolvarea este incheiata.
Pentru a doua cerinta observam ca partea fractionara a lui A este data de partea fractionara a lui 2p$\sqrt{p^2+q}$, deci vom calcula partea fractionara a acestuia. [2p$\sqrt{p^2+q}$] = 2$p^2$ +q-1, acest lucru aratandu-se usor:
2$p^2$ +q-1 < 2p$\sqrt{p^2+q}$ < 2$p^2$ +q. Pentru a arata ca partea fractionara a lui 2p$\sqrt{p^2+q}$ este mai mare ca 0.75, vom arata ca
2$p^2$ +q-1+0.75 < 2p$\sqrt{p^2+q}$, iar astfel rezolvarea este incheiata.
"We must know, we will know" - David Hilbert
Re: partea fractionara a lui a
Problema data la ONM 2000, clasa a IX-a.
Vezi aici http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=472285
Vezi aici http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=472285
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
- Alexandru Mihalcu
- Mesaje: 148
- Membru din: Vin Sep 07, 2012 7:53 pm
- Localitate: Bucuresti
- Contact:
Re: partea fractionara a lui a
Problema face parte din materialul informativ postat la etapa a 2-a V.O. 2012
Alex Mihalcu
Kill them with success, burry them with a smile :D
ICHB
Kill them with success, burry them with a smile :D
ICHB