Ecuatie in multimea numerelor naturale

mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Ecuatie in multimea numerelor naturale

Mesaj de mihai miculita »

Aratati ca ecuatia: $x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=3$, are o infinitate de solutii in multimea numerelor naturale.
Avatar utilizator
Mr. Ady
Mesaje: 307
Membru din: Mie Dec 08, 2010 10:55 pm
Localitate: Targoviste

Re: Ecuatie in multimea numerelor naturale

Mesaj de Mr. Ady »

$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=3$
Inmultind cu 2, obtinem
$(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=6$
Consideram, fara a restrange generalitatea problemei, $x \geq y \geq z$
$\Leftrightarrow$ $|x-y|=x-y, |x-z|=x-z, |y-z|=y-z$
Observam ca singura solutie a ecuatiei este $1^2+1^2+2^2=6$
$\Rightarrow$ $x-y=1$, $y-z=1$ si $x-z=2$
Notand $x=a$, $a \in N$, obtinem $y=a-1$ si $z=a-2$, deci o infinitate de solutii
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Scrie răspuns