Problema divizibilitate
Problema divizibilitate
Demonstreaza ca printre 81 de numere naturale ai caror divizori primi se afla in multimea {2,3,5} exista patru al caror produs este puterea a patra a unui numar natural.
-
Stefan Tudose
- Mesaje: 258
- Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm
Re: Problema divizibilitate
In primul rand, nu stiu ce cauta la sectiunea de inegalitati.
In al doilea rand, sa observam ca problema este echivalenta cu a demonstra ca avand $81$ triplete (ordonate) de numere naturale, exista $4$ cu suma fiecarei componente divizibila cu $4$ . Enuntul poate fi intarit: fiind date doar 25 de numere, concluzia ramanane adevarata. Rezultatul este legat de o intrebare grea, si anume care este numarul minim de $n$-tuplete de numere intregi a.i. pot fi alese $k$ cu suma fiecarei componente divizibila cu $k$( unde adunarea se face pe componente). Nu s-a putut demonstra decat pentru numere intregi, teorema purtand numele de Teorema Erdos-Ginzburg-Ziv , care spune ca fiind date $2n-1$ numere intregi, exista $n$ cu suma divizibila cu $n$. S-a demonstrat ca in cazul general este suficient sa se demonstreze pentru numere prime, intrucat ea are oarecum o proprietate multiplicativa, i.e. daca sunt adevarate $P(x)$ si $P(y)$ atunci si $P(xy)$ este adevarat.
Problema este ca in enuntul dat se lucreaza cu triplete (ordonate) de numere $(a,b,c)$, . Pentru triplete, 'se crede' ca raspunsul este $8n-7$, insa nu a fost demonstrat. Totusi, pentru numere mici, folosind proprietatea de multiplicitate se poate demonstra relativ usor. Daca $n=2$, o sa fie $8\cdot 2-7=9$ triplete. Cum fiecare numar dintr-un triplet poate avea una din doua paritati, exista 8 configuratii posibile de paritati, deci din principiul cutiei, vor exista doua triplete cu aceeasi configuratie si implicit, vor avea suma fiecarei componente para. Acum, datorita multiplicitatii, rezultatul este adevarat si pentru orice putere a lui $2$, in particular $4$. Astfel, fiind date $8\cdot 4-7=25$ triplete de numere intregi, exista 4 cu suma fiecarei componente divizibila cu 4, ceea ce rezolva problema.
Se poate gasi usor (dar sunt cuprins de o lene profunda
), un contraexemplu pentru 24 de numere. Cum ar spune o culegere de problema serioasa, lasam gasirea contraexemplului ca exercitiu pentru cititor.
In al doilea rand, sa observam ca problema este echivalenta cu a demonstra ca avand $81$ triplete (ordonate) de numere naturale, exista $4$ cu suma fiecarei componente divizibila cu $4$ . Enuntul poate fi intarit: fiind date doar 25 de numere, concluzia ramanane adevarata. Rezultatul este legat de o intrebare grea, si anume care este numarul minim de $n$-tuplete de numere intregi a.i. pot fi alese $k$ cu suma fiecarei componente divizibila cu $k$( unde adunarea se face pe componente). Nu s-a putut demonstra decat pentru numere intregi, teorema purtand numele de Teorema Erdos-Ginzburg-Ziv , care spune ca fiind date $2n-1$ numere intregi, exista $n$ cu suma divizibila cu $n$. S-a demonstrat ca in cazul general este suficient sa se demonstreze pentru numere prime, intrucat ea are oarecum o proprietate multiplicativa, i.e. daca sunt adevarate $P(x)$ si $P(y)$ atunci si $P(xy)$ este adevarat.
Problema este ca in enuntul dat se lucreaza cu triplete (ordonate) de numere $(a,b,c)$, . Pentru triplete, 'se crede' ca raspunsul este $8n-7$, insa nu a fost demonstrat. Totusi, pentru numere mici, folosind proprietatea de multiplicitate se poate demonstra relativ usor. Daca $n=2$, o sa fie $8\cdot 2-7=9$ triplete. Cum fiecare numar dintr-un triplet poate avea una din doua paritati, exista 8 configuratii posibile de paritati, deci din principiul cutiei, vor exista doua triplete cu aceeasi configuratie si implicit, vor avea suma fiecarei componente para. Acum, datorita multiplicitatii, rezultatul este adevarat si pentru orice putere a lui $2$, in particular $4$. Astfel, fiind date $8\cdot 4-7=25$ triplete de numere intregi, exista 4 cu suma fiecarei componente divizibila cu 4, ceea ce rezolva problema.
Se poate gasi usor (dar sunt cuprins de o lene profunda
), un contraexemplu pentru 24 de numere. Cum ar spune o culegere de problema serioasa, lasam gasirea contraexemplului ca exercitiu pentru cititor.Re: Problema divizibilitate
Multumesc mult!!