MathTime

Sa se determine perechile de numere (x,y) pentru care are loc relatia:
$\dfrac{1}{\sqrt{x}+y}+ \dfrac{1}{\sqrt{y}+x}+ \dfrac{1}{\sqrt{xy}+1}$ = $\dfrac{1}{2}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+ \dfrac{\sqrt{y}}{y}+ \dfrac{\sqrt{xy}}{xy})$.

$\displaystyle\sum\limits_{cyc}{\left(\frac{x^3}{y^2+z^2}\right)}\ge$$\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)$ $\displaystyle\sum\limits_{cyc}{\left(\frac{x^2}{y^2+z^2}\right)}\ge$ $\dfrac{1}{3}*\dfrac{3}{2}\left(x+y+z\right) =$$\dfrac{x+y+z}{2}$.
Am folosit inegalitatea lui Cebasev si a lui Nesbitt.

Hint: Minimul e 1(demonstrati!)

Fie f o functie strict crescatoare, definita pe N* cu valori in N*, cu proprietatea ca f(f(x))=3x. Sa se determine f(2013).

Sa se determine cea mai mica valoare a unui numar natural n, astfel incat oricare ar fi k mai mare sau egal cu n, orice paralelogram sa poata fi impartit in k patrulatere inscriptibile.

Daca x+y+z=0, sa se determine valoarea minima a expresiei |cos x| + |cos y| + |cos z|.

Nu incearca nimeni?

1. Daca M este un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC, sa se arate ca AM^2sin2A+BM^2sin2B+CM^2sin2C=4S . 2. Sa se demonstreze relatia: a^2ctgA+b^2ctgB+c^2ctgC=4S . 3. Fie ABC un triunghi ascutitunghic de arie S. Sa se calculeze aria triunghiului ortic in functie de S si de functiile trigono...

Sa se determine toate functiile reale pentru care $(f(x)+f(y))f(x-y)=(f(x)-f(y))f(x+y)$.

Sa se verifice daca exista functii care verifica relatia $f^2(x)+f(y)+f(1)=y^2+x+1$, oricare ar fi $x \neq y$.