MathTime

Problema 5. Toate patratelele unei table 10\times 10 sunt colorate alb. Doi jucatori coloreaza pe rand cate un patratel alb in negru. Pierde jucatorul dupa miscarea caruia pe tabla nu mai exista doua patratele vecine (dupa latura) albe. Cine cistiga, daca ambii joc corect? Problema 6. Intr-un turne...

Problema 4. Avem n bile numerotate si n cutii numerotate de la 1 la n . Cate moduri de a pune bilele in cutii sunt, astfel incat fiecare cutie sa contina exact o bila, iar numarul oricarei cutii sa fie diferit de numarul bilei din ea? Problema 5. Fie M multimea numerelor rationale din intervalul (0...

Problema 4. Care este numărul maxim de fise care pot fi plasate pe câmpurile unei table de şah 8x8 astfel încât fiecare linie, coloană şi diagonală (nu doar diagonalele mari) să conţina un număr par de fise? Problema 5. Care este numarul minim de turnuri care trebuie plasate pe o tabla de sah 8x8 a...

Pe o tablă sunt scrise numerele 1,2,3,...,19,20. Un elev alege oricare două numere din cele scrise pe tablă, care diferă cu cel puţin 2 unităţi, şi-l măreşte pe cel mai mic cu o unitate, iar pe cel mai mare îl micşorează cu o unitate. Cele două numere obţinute se scriu pe tablă în locul celor alese....

Numerele naturale nenule au fost repartizate în grupe: $(1),(2,4),(3,5,7),(6,8,10,12),(9,11,13,15,17),...$ Notăm cu $S_n$ suma numerelor din grupa a $n$-a, iar $b_n=\dfrac{S_n}{n}.$ Să se arate că pentru orice $n\in\mathbb{N^\ast}$ numărul $b_{2n+1}-b_{2n}$ este natural par.

Fie triunghiul $ABC$ cu $m( \angle A)=60^\circ.$ Punctele $B_1$ şi $C_1$ sunt picioarele bisectoarelor interioare duse din vârfurile $B$ şi, respectiv $C$. Să se demostreze că simetricul lui $A$ în raport cu dreapta $B_1C_1$ aparţine dreptei $BC$.

Să se determine toate soluţiile reale ale sistemului de ecuaţii
$\begin{cases} x+y+4=\dfrac{12x+11y}{x^2+y^2},\\ x-y+3=\dfrac{11x-12y}{x^2+y^2}. \end{cases}$

Fie $n\in \mathbb{N}, n\ge2.$ Să se determine partea întreagă a numărului
$[tex]$E=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\frac{i^2}{(i+1)!}}.[/tex]

Numerele reale pozitive $x_1,x_2,...,x_n$ satisfac relaţia $x_1x_2...x_n=1.$ Să se demonstreze inegalitatea

• $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i(x_i+1)}\ge\frac{n}{2}.$

Să se determine toate perechile de numere reale $(x,y)$ care satisfac ecuaţia

• $y+3\sqrt{x+2}=\frac{23}{2}+y^2-\sqrt{49-16x}.$