MathTime

Deoarece pentru o vreme nu o sa mai folosesc aceste carti pentru pregatirea olimpiadelor, pentru ca sa nu stea degeaba si sa se deterioreze m-am gandit sa vand o parte dintre ele. Am cate un singur exemplar din fiecare. Detalii despre carti si pret puteti gasi in documentul urmator: https://docs.goo...

Determinati sirurile $(a_n)_{n \geq 1}$ si $(b_n)_{n \geq 1}$, cu $a_n \in \{-1,1\}$ si $b_n \in \Bbb{N}$, pentru fiecare $n \in \Bbb{N}^*$, si cu proprietatea

$a_1b_1^2+a_2b_2^2+...+a_nb_n^2=a_n \frac{n(n+1)}{2}$ pentru orice $n \in \Bbb{N}^*$.

Romanta si Ioan Ghita, Blaj

Fie un patrulater convex $ABCD$, $M$ mijlocul laturii $BC$ si $N$ mijlocul laturii $CD$. Dreptele $AM$ si $BN$ se intersecteaza in $P$. Daca $\displaystyle \frac{PM}{AM}=\frac{1}{5},\ \frac{PB}{BN}=\frac{2}{5}$ sa se precizeze natura patrulaterului $ABCD$.

Laurentiu Panaitopol

a) Sa se arate ca romburile cu fiecare dintre cele patru varfuri situate pe cate o latura a unui dreptunghi dat sunt asemenea. b) Se considera multimea T a triunghiurilor dreptunghice care au varfurile unghiurilor ascutite pe fiecare din laturile unui unghi drept XOY , iar varful unghiului drept al ...

Fie un patrulater convex si un cerc interior lui. Sa se arate ca diametrul cercului ste mai mic decat fiecare dintre diagonalele patrulaterului.

Laurentiu Panaitopol

Sa se arate ca sirul $(a_n)$ definit prin $a_n=3^n-2^n$ nu contine trei termeni in progresie geometrica.

Laurentiu Panaitopol

Fie $(x_n)$ un sir definit prin $x_1=1,\ x_{n+1}=\displaystyle \frac{x_n}{n}+\frac{n}{x_n}$, pentru orice $n \geq 1$. Sa se arate ca sirul este crescator si $\lfloor x_n^2 \rfloor =n, \ \forall n \geq 4$.

Laurentiu Panaitopol

Sa se arate ca cel mai mic multipliu comun al numerelor $1,2,...,n$ este egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor $\displaystyle \binom{n}{1}, \binom{n}{2},...,\binom{n}{n}$ daca si numai daca $n+1$ este prim.

Laurentiu Panaitopol

Din varfurile unui patrat, considerate ca centre, se deseneaza patru cercuri care au suma ariilor egala cu aria patratului. In interiorul fiecarui cerc se considera cate un punct. Sa se demonstreze ca aceste patru puncte alese sunt varfurile unui patrulater convex.

Laurentiu Panaitopol

Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural $n \geq 1$, numarul
$\displaystyle \prod_{k=1}^n k^{2k-n-1}$ este intreg.

Laurentiu Panaitopol