MathTime

Fie triunghiul ABC si punctul M interiorul lui,diferit de centrul cercului circumscris.Dreptele AM,BM,CM intersectează cercul circumscris triunghiului ABC in punctele A_1,B_1,C_1 . Fie A_2,B_2,C_2 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor MBC,MCA,MAB .Aratati ca dreptele A_1 A_2, B_1 B_2,C_1 ...

In triunghiul ascutitunghic scalen ABC prelungirile inaltimilor AA_1 si BB_1 intersecteaza cercul circumscris triunghiului in A_0 respectiv B_0.Dreata A_0B_0 intersecteaza AB in punctul P.Fie K centrul cercului circumscris triunghiului AHB,H-ortocentrul triunghiului ABC.Demonstrati ca PH este perpe...

Consideram multimile finite A si B ,fiecare dintre ele avand elemente pozitive. Multimea C este compusa din toate produsele de forma a\cdot b ,unde a \in A si b\in B .Pot oare toate elementele multimii C ,scrise intr-o ordine crescatoare, sa formeze o progresie aritmetica? Consideram |A| , |B| \ge 2

In triunghiul ascutitunghic scalen ABC prelungirile inaltimilor AA_1 si BB_1 intersecteaza cercul circumscris triunghiului in A_0 respectiv B_0.Dreata A_0B_0 intersecteaza AB in punctul P.Fie K centrul cercului circumscris triunghiului AHB,H-ortocentrul triunghiului ABC.Demonstrati ca PH este perpen...

Hint:Centrele căror cercuri sunt P,Q?

Determinați valorile reale ale parametrului a pentru care ecuația ax+\sqrt{3-2x-x^2}=4a+2 are exact o solutie.

Se dau doua drepte paralele l si m,si un punct A între ele (fixat) .Se ia o dreapta arbitrara s,perpendiculara pe dreptele l si m,care le intersectează in B si C.Determinati locul geometric al punctelor,care sint centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC.

Fie triunghiul ABC in care a=BC \le b=CA \le c=AB. Sa se demonstreze ca următoarele afirmații sunt echivalente : 1) in interiorul triunghiului exista un punct X cu proprietatea ca segmentele tăiate de laturile triunghiului pe dreptele ce trec prin X paralel la aceste laturi sunt congruente ; 2)bc<a(...

Pentru numerele reale pozitive $a,b,c$,demonstrati ca are loc $\sum_{cyc} {\frac{a^4-a^2+1}{b^5}} \ge \sum_{cyc} { \frac{1}{a^3}}$

Fie triunghiul dreptunghic ABC cu \angleC=90^{\circ}.Fie D,E,F punctele de contact ale cercului înscris triunghiului ABC cu BC,CA,AB.Fie M,N,P simetricele punctelor D,E,F fata de mijloacele laturilor pe care se afla.Demonstrati ca centrul cercului circumscris triunghiului MNP este mijlocul arcului A...