MathTime

Se arată usor ca bisectoarele unghiurilor B si F se intersectează in D.Deci ABCF este armonic,de unde si concluzia.

In triunghiul $ABC$ bisectoarea $AK$ este perpendiculara pe mediana $CL$.Demonstrati ca in triunghiul $BKL$ tot exista o bisectoare perpendiculara pe o mediana.

Arătați ca orice număr natural se poate scrie ca diferența a doua numere ce au același număr de factori primi.

In triunghiul ABC avem : m\left(\widehat{ABC}\right)= 30^{\circ} , |AB| > |AC| , m\left(\widehat{BAC}\right)>90^{\circ}. Luam un punct D in interiorul triunghiului astfel încât sa avem |BD|=|CD| si m\left(\widehat{BDA}\right) =3 \cdot m\left(\widehat{BCA}\right). Gasiti: m\left(\widehat{ACD}\right)!

Numerele reale $x, y, z \ge \frac{1}{2}$ satisfac $xyz=1$. Demonstrați ca $3 + x+y+z \le \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} .$

Hint : Desfaceți parantezele si pe urma aplicați inegalitatea mediilor.

1. La scrierea zecimala a numărului natural nenul n se alipesc la dreapta 3 cifre.In rezultat se obține un număr egal cu 3\cdot 1 +3\cdot 3 +...+3\cdot (2n-1) .Sa se afle n si cifrele alipite. 2. a,b,c pozitive si a^2+b^2+c^2=1 .Aratati ca \sum{\frac{3-2a^2+c^2}{c(a+3b)} \ge 6 . 4. Fie a,b,x,y,z nu...

Să se rezolve sistemul: $\left\{\begin{array}{c} \dfrac{2x-y+z-1}{2x-y+z} - \dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{2}{x+y-z}=\dfrac{3}{4}\\ \dfrac{1}{2x-y+z}-\dfrac{x+y+z+1}{x+y+z}+\dfrac{1}{x+y-z}=\dfrac{1}{4}\\ \dfrac{2}{2x-y+z}+\dfrac{4}{x+y+z}+\dfrac{x-y+z+2}{x-y+z}=5\end{array}\right$.

Fie $m,n \in \mathbb{N}^*$ așa încât $\sqrt{7} > \dfrac{m}{n}$.Arătați că $\sqrt{7} > \dfrac{m}{n} +\dfrac{1}{mn}$.

Dacă $n,m,k \in \mathbb{N}$ astfel încât $n^n+1=m^k$ ,atunci $k=1$.