MathTime

Mult succes la OIM!

Multumesc Dl Profesor!

Se da un triunghi $\triangle{ABC}$ cu varful $B$, $AB>BC$. Fie un punct $D\in (AC)$ astfel incat $AB=CD$, $\angle{ABD}=x$, $\angle{BAC}=2x$ \3i $\angle{BCA}=5x$. Aflati $x$.

Aratati ca exista un multiplu al numarului $2013$ care termina in $2014$.

Problema 2 . Vom demonstra ca toate numerele cu proprietatea din problema sunt de forma 2^i . Presupunem contrariul, adica faptul ca exista un numar n=2^i+k , unde k>0 si k nu este o putere a lui 2 . Astfel deducem cazurile: Cazul I Daca numarul k este impar, atunci: 2^i+k = 2^i + \dfrac{k-1}{2}+\df...

Problema 1. Un procedeu prin care se poate ajunge la valoarea $14$ este
$458\rightarrow45\rightarrow90\rightarrow9\rightarrow18\rightarrow36\rightarrow72\rightarrow7\rightarrow14$

Daca nici unul dintre numerele a, b ,c nu este divizibil cu 3 , atunci a^2+b^2+c^2=M_3+1+M_3+1+M_3+1=M_3+3=M_3 -fals, deci unul dintre numere este multiplu de 3 . Observam ca acesta nu poate fi c deci acesta poate fi a sau b . Daca b=3 , atunci a=2 , deci numarul a^2+b^2+c^2 este par-fals, deci a=3 ...

Juniori I - problema 1 http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=16&t=6646 - problema 2 http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=18&t=6647 - problema 3 http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=20&t=6648 - problema 4 http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=17&t=6649 Juniori II - problema 1 http://forum....

$2014=2\cdot19\cdot56$
Stiind ca $a+b+c\le27$, deci singurele valori pe care le ia $a+b+c\in\{1,2,19\}$
Pentru -$a+b+c=1$ avem o solutie.
Pentru -$a+b+c=2$, avem $3$ solutii
Pentru -$a+b+c=19$, avem $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ solutii.
Deci in total avem $1+3+45=49$ solutii.

Se dau $25$ de numere care sunt divizori ai numarului $2014^{2014}$. Aratati ca exista $4$ dintre acestea astfel incat produsul lor sa fie puterea a $4$-a a unui numar natural.