MathTime

Să se determine funcțiile $f,g:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$ care au următoarele proprietăți:
(i) dacă $x,y\in \Bbb{R}$ cu $x<y$, atunci $f(x)<f(y)$;
(ii) oricare ar fi $x,y \in \Bbb{R}$, $f(xy)=g(y)f(x)+f(y)$.

Fie $m$ și $n$ două numere naturale nenule. Să se determine numărul minim de rădăcini complexe distincte ale polinomului $\displaystyle\prod_{k=1}^{m}\, (f+k)$, când $f$ parcurge mulțimea polinoamelor de grad $n$ cu coeficienți complecși.

Fie (R,+,\cdot) un inel și f un endomorfism surjectiv al său, astfel încât [x,f(x)]=0 oricare ar fi x\in R , unde [a,b]=ab-ba , a,b\in R . Să se arate că: (a) [x,f(y)]=[f(x),y] și x[x,y]=f(x)[x,y] , oricare ar fi x,y\in R ; (b) dacă R este corp și f este diferit de identitate, atunci R este comutativ.

Fie $f\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}$ o funcție continuă, astfel încât
$\int_{0}^{n}f(x)f(n-x)\ \text{d}x=\int_{0}^{n}f^{2}(x)\ \text{d}x$,
oricare ar fi numărul natural $n\ge 1$. Să se arate că $f$ este periodică.

Fie \mathcal{C} mulțimea funcțiilor integrabile f\colon [0,1]\to\mathbb{R} , astfel încât 0\le f(x)\le x , oricare ar fi x\in [0,1] . Definim funcția V\colon\mathcal{C}\to\mathbb{R} prin V(f)=\int_{0}^{1}f^{2}(x)\ \text{d}x-\left(\int_{0}^{1}f(x)\ \text{d}x\right)^{2}\ ,\ f\in\mathcal{C} . Să se det...

Fie $n$ și $k$ două numere naturale astfel încât $n\ge 2$ și $1\le k\le n-1$. Arătați că dacă matricea $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ are exact $k$ minori nuli de ordin $n-1$, atunci $\det (A)\ne 0$.

Fie $A,B\in\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$ astfel încât $AB=BA$ și $\det (A^{2}+AB+B^{2})=0$. Arătați că
$\det (A+B)+3\det (A-B)=6\det (A)+6\det (B)$.

Determinați funcțiile derivabile $f:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ pentru care $f(0)=0$ și $f^{\prime}(x^{2})=f(x)$, pentru orice $x\in [0,\infty)$.

Fie funcțiile f,g:[0,1]\rightarrow[0,1] astfel încât g este monotonă și surjectivă și |f(x)-f(y)|\le|g(x)-g(y)| , oricare ar fi x, y\in[0,1]} . a) Arătați că f este continuă și că există x_0 \in [0,1] , cu f(x_0)=g(x_0) . b) Arătați că mulțimea punctelor x\in[0,1] pentru care f(x)=g(x) este un inter...

Fie $n$ și $m$ două numere naturale, $m\gen\ge2$. Determinați numărul funcțiilor injective $f:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,m\}$ cu proprietatea că există și este unic un număr $i\in\{1,2,...,n-1\}$ pentru care $f(i)>f(i+1)$.