MathTime

Relatia d) este doar o aplicatie a teoremei sinusurilor.

Din inegaitatea lui Holder avem $(\frac{a}{x}+\frac{b}{y})^2(x^2+y^2) \geq(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^3$ de unde $\frac{a}{x}+\frac{b}{y} \geq (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^\frac{3}{2}$

La a) aplicam $(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$

Sau se poate folosi $\displaystyle \sum_{cyc} \frac{xy}{z} \ge \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

Laurentiu Ploscaru scrie:$LHS\ge \sum \sqrt{\frac{y^3}{x}$ (medii 2 câte 2) $\ge RHS$ (rearanjamente)

.

Nu este buna solutia. Din medii iti ramane de demonstrat ca $\displaystyle \sum_{cyc} \sqrt{x^3y} \ge x^2+y^2+z^2$ care este falsa conform inegalitatii rearajamentelor.

Problema este din barajele pentru Obmj 2005.

Pentru n-impar se foloseste aceeasi teorema pentru ca este cu echivalenta.

Nu nici asa nu este. Exista o teorema care spune ca un numar se poate reprezenta ca suma de patrate daca si numai daca are toti factorii primi de forma 4k+3 la putere para. Luan n=2 am terminat.

$(x,y,n)=(1,0,0) este solutie.$

A. Ai dreptate scuze.