MathTime

Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Notam cu E_a, E_b, E_c, E_d centrele cercurilor celor noua puncte corespunzatoare triunghiurilor BCD, CDA, DAB , respectiv ABC . Aratati ca dreptele AE_a, BE_b, CE_c, DE_d sunt concurente. Vectorial ar arata cam asa: \overrightarrow{HE_a}=3\overrightarrow{E_aG_a...

Problem 6. Let a,b,c>0 , prove that \displaystyle\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)}\ge \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}\;. Din C.B.S. si din inegaliatea clasica a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca avem: \dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a...

Problem 1. Given that 0<x,y<1 , determine the maximum value of \dfrac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)} . Notam cu z=1-x-y=>x+y+z=1 . Deci expresia devine \dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} , maximul ei fiind \frac{1}{8} deoarece x+y\ge 2\sqrt{xy}, y+z\ge 2sqrt{yz}, z+x\ge 2\sqrt{zx}=> (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz...

Prin G, centrul de greutate al triunghiului ABC, se considera o dreapta d, care intersecteaza dreptele BC, CA si AB respectiv in A`, B`, C`. Fie L un punct pe dreapta d, interior triunghiului. Sa se arate ca: $\frac{LA`}{GA`}+\frac{LB`}{GB`}+\frac{LC`}{GC`}=3.$

Sa se rezolve in numere prime ecuatia:
$\lfloor \sqrt{1}\rfloor+\lfloor \sqrt{2}\rfloor+\lfloor \sqrt{3}\rfloor+...+\lfloor \sqrt{x^2-1}\rfloor=y$

Fie M un poligon convex si l o linie dreapta. Aratati ca este posibili sa inscriem un triunghi in M, cu o latura paralela cu l si aria cel putin $\frac{3}{8}$ din M.

Lungimile a 2 inalitimi ale unui triunghi sunt egale cu 12 si 20. Aratati ca a treia inaltime are lungimea mai mica decat 30.

Fie ABC un triunghi ascutitunghic cu m(<BAC)=60 si AB>AC. Fie I centrul cercului sau inscris si H ortocentrul triunghiului ABC. Aratati ca 2*m(<AHI)=3*(<ABC).

Fie a,b,c numere reale cu produsul 1 . Demonstrati ca : \displaystyle\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)} \ge \dfrac{3}{2} . (IMO) Inmultim inegalitatea cu (abc)^2 si aplicam C.B.S. si AM-GM: \displaystyle\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)}= \displaystyle\sum\dfrac{(bc)^2}{ab+ac}\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge\...

Exista un numar natural $n$ astfel incat numarul $4^{2^n+1}-1$ sa se divida cu $257$?